Математика и криптография

Итак, в шифрограмме мы ищем повторяющиеся группы символов. Лучше всего, чтобы длина этих групп была не менее трёх символов: если будет меньше, то велик шанс пойти по ложному следу. Это происходит из-за того, что разные двухбуквенные сочетания из шифруемого текста были зашифрованы при помощи разных символов в ключе, а в результате получились одинаковые буквосочетания в шифрограмме. Если группа символов длиннее, то такого практически не происходит.

Расстояния между последовательными появлениями одинаковых групп в шифрограмме будут кратны длине ключа. Так что мы подсчитаем расстояния между всеми этими группами, а длина ключа будет равна наибольшему общему делителю всех расстояний.

Иногда это не срабатывает, так как из-за использования большого числа алфавитов разные группы символов исходного текста могут случайно получиться одинаковой группой в шифрограмме. Такое возможно, если текст очень большой. Тогда криптоаналитик должен внимательно изучить разные возможности и отсеять то, что не подходит. Мы не будем практиковаться в этом занятии, но я должен сказать о том, что такая возможность есть.

После того как длина ключа определена, вся шифрограмма выписывается в колонку. Ее ширина равна количеству символов в ключе. Затем надо сделать частотный анализ (который мы изучили на первой неделе) для каждого столбика этой колонки.

Давай потренируемся во всем этом на практике. Представь себе, что ты видишь такое послание:

ТИЪРУЫМТУНРШАТПЮАКЧЧЙАЙТГЗУШМНОЧЖАЧЗСЦСЮЙЗЗЫХШЮХАФЭБ ДЦПЯХИСЫУХЮЭАППЖХКТУИЩЩЖЗЭШУЗЭЫШНТБАЩЪБЗХЮЦПЗЭШПЙДБЕРЫ БАЧ БТЪЮТПФАЫЗБМБЪФЯЫХЮТГЩФТСИАДШРБОГИБНАККВПУЭСУВООЦТБАИЫХФ ФЕЙФДДРДТПЧФГБЯЧЭАРОФЭЪЙТЛШПЭМНОХОРЫУУНЪНОГЫТРЦЛЕПФВТЛИЩТ ЙЗСТРШЮЛМГШТСИЦТ ЗДБШЫОЪБЖСЫУВОБАЧЮЯОЦШТВНАВПУФЪОЦАЕЙЗБУЛРДТЩРГГПКОЮБТЮЭА ЙКТОРОФЭУПТЕУЧАБЗЩЯЯПТЩРГГПЛ ТНФПТГЗЩБОНЖАПФПЫУЦТШАЙВЧЖЪОХИУЮБХПТУНЫТЛЦЫЖАРЭЕЖШФДОЦ ОШЖЗАБЕНЩЙФЮШАХЮТВУПЦПМПГЗЛЕПФВТФЧУЗХФАЙЕОЕЭЗВЩЖЗЫБЗНЗНА ЧЮА ЪЙТЙЗЯБЕЫЫУУВОАБЗБШНЫОЮБТОПОЭБАРЦЖХЧЕЫЗЛЕПЪОДРЦАБВЗЗЫХШЮХ БХЧСАББВГОБОЗАЕБУОУВЩЮЯЯЪЭБАХФХИУПЭКПШНГЫТЕНЪБС

Если сделать здесь частотный анализ, то получится вот такая таблица:

Для удобства в двух крайних правых столбцах этой таблицы я привел частоты букв в русском языке. Уже беглый взгляд на эту таблицу подсказывает, что тут есть проблема. Частоты совершенно не совпадают, хотя длина шифрограммы значительная (558 символов).

Что делают настоящие криптоаналитики для анализа подобной ситуации? Они строят графики. Вот два графика (они называются «гистограммами»):

Гистограмма частот символов в шифрограмме

Гистограмма частот букв русского языка

Ты можешь представить себе, что эти графики — набор вертикальных штырьков, на которые нанизаны блины, как в детской пирамидке или головоломке «ханойская башня». Количество блинов на штырьке соответствует количеству целых процентов, а последний блин по толщине соответствует долям процента. Если расположить эти башни по убыванию количества блинов, то как раз получатся такие гистограммы. По горизонтали отложены буквы по убыванию частот их в языке, а по вертикали — относительные частоты в процентах.

Видишь, на этих графиках обозначены подсчитанные частоты символов. На левом графике отложены частоты символов из шифрограммы, а на правом — частоты букв русского языка. Вид графиков различается: для шифрограммы он более пологий. Это уже указывает на то, что нарушено распределение частот, а значит, для шифрования был избран не одноалфавитный шифр, а что-то другое. Кстати, в качестве тренировки рекомендую построить такую гистограмму для символов из шифровки первой недели: ты увидишь, что она очень похожа на гистограмму частот для букв русского языка.

Итак, мы с помощью математических методов убедились, что это не одноалфавитная замена. Возможно, это многоалфавитный шифр. Попробуем проверить. Как я уже сказал, следует сначала попытаться найти длину ключа. Для этого в шифрограмме надо искать одинаковые последовательности букв. Это сложно, и надо собрать всё своё внимание, чтобы найти их.

Быстрый просмотр шифрограммы показывает, что есть одно семисимвольное сочетание «ЗЗЫХШЮХ», которое встречается в шифрограмме дважды. При этом повторяющихся восьмисимвольных сочетаний нет. (Надо отметить, что чем больше в повторяющихся сочетаниях символов, тем лучше). Проверим, на каких позициях стоят эти буквосочетания. Первое стоит на позиции 49, а второе — на 509. Разница: 509 — 49 = 460. Запомним.

Больше семисимвольных сочетаний нет, поэтому посмотрим на шестисимвольные. Есть четыре таких буквосочетания, но первые два из них — это префикс и суффикс семисимвольного сочетания, рассмотренного ранее, поэтому учитывать их не будем. Другие — это «ЛЕПФВТ» и «ТЩРГГП». Первое из этих двух буквосочетаний встречается на позициях 225 и 421. Их разница: 421–225 = 196. Второе стоит на позициях 294 и 330, и разница составляет 330–294 = 36.