Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Сначала необходимо определить термин «теоретически справедливый», отно­сящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истече­ния, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание воз­можного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определения таков: «Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов»?

Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения (1.03):

где р_i = вероятность выигрыша или проигрыша попытки i;

a_i= выигранная или проигранная сумма попытки i;

N =количество возможных исходов (попыток).

Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого воз­можного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или проигры­ша. Когда сумма вероятностей р_i больше 1, уравнение 1.03 необходимо разделить на сумму вероятностей р_i.

Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание.

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опци­она, или арифметическое математическое ожидание;

р_i = вероятность цены i по истечении срока опциона;

а_i = внутренняя стоимость опциона (для кол-опциона: рыноч­ная цена инструмента минус цена исполнения опциона;

для пут-опциона: цена исполнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.

Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в зна­менателе до тех пор, пока вероятность i-ой цены (т.е. р.) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне доста­точно). Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в зна­менателе, пока вероятность i-ой цены (т.е. р_i) не будет меньше 0,001. Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, т.е., если веро­ятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение из 1. Интересно отметить, что значения вероятности р_i можно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно не обязательно должно быть нормальным, то есть пользователь может получить теоретическую справедливую цену опциона для любой формы распределения! Таким образом, эта модель дает возмож­ность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распреде­ление Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое рас­пределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при опреде­лении справедливой стоимости опционов.

Необходимо изменить модель таким образом, чтобы она выражала арифмети­ческое математическое ожидание на дату истечения срока опциона как следую­щую величину:

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или текущее значение арифметического математического ожида­ния при данном значении Т;

p_i = вероятность цены i по истечении срока опциона;

а_i =внутренняя стоимость опциона, соответствующая базовому инст­рументу при цене i;

R = текущая безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью.