Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Давайте заменим переменную U в уравнении (5.13) ожидаемой ценой базо­вого инструмента на дату истечения срока опциона. Ожидаемая стоимость ба­зового инструмента может быть определена с помощью уравнения (5.10) с учетом того, что в этом случае а. просто равно i. В нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467. Это происходит потому, что минимальная цена инструмента равна 0, в то время как ограничения цены сверху не существует. Движение цены со 100 до 50 так же вероятно, как и движение со 100 до 200. Следовательно, стоимость колл-опционов будет выше, чем стоимость пут-опционов. Неудивительно, что ожидаемая стоимость базового инструмента на дату истечения должна быть больше, чем его текущая цена, — это вполне согласуется с предположением об инфляции. Когда в уравнении (5.13) мы заменим значение U (текущую цену базового ин­струмента) на значение ожидаемой стоимости на дату истечения, мы сможем рассчитать справедливую стоимость пут-опциона:

Р = 3,842 + (100 - 101,288467) * ЕХР(-0,05 * 33/260,8875) = 3,842+-1,288467 *ЕХР(-0,006324565186) = 3,842 + -1,288467 * 0,9936954 = 3,842 + 1,280343731 =2,561656269

Это значение согласуется со стоимостью пут-опциона, полученной из уравнения (5.11).

Остается одна проблема: если пут-опционы и колл-опционы с одной ценой исполнения и сроком истечения оценены согласно уравнению (5.11), тогда суще­ствует возможность арбитража. На самом деле LJ в (5.13) является текущей ценой базового инструмента, а не ожидаемым значением базового инструмента на дату истечения. Другими словами, если текущая цена равна 100 и декабрьский колл-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 3,842, а пут-опцион с ценой ис­полнения, равной 100, стоит 2,561656269, то существует возможность арбитража, исходя из (5.13).

Отсутствие паритета «пут-колл» при наличии наших заново полученных цен опционов предполагает, что вместо покупки колл-опциона за 3,842 нам следует открыть эквивалентную позицию, купив пут-опцион за 2,562 и базо­вый инструмент.

Проблема решится, если мы сначала рассчитаем ожидаемую стоимость базо­вого инструмента по уравнению (5.10) с учетом того, что а_i просто равно i (в нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента рав­на 101,288467), и вычтем текущую цену базового инструмента из полученного значения: 101,288467 - 100= 1,288467. Теперь, если мы вычтем это значение из каждого значения а., т.е. внутренней стоимости из (5.11), и примем любые по­лучившиеся значения менее 0 равными 0, тогда уравнение (5.11) даст нам теоре­тические значения, которые согласуются с (5.13). Таким образом, арифметичес­кое математическое ожидание по базовому инструменту заменит текущую цену базового инструмента. В нашем примере (распределение Стьюдента с 5 степе­нями свободы) мы получим стоимость пут-опциона и колл-опциона с ценой исполнения 100, равную 3,218. Таким образом, наш ответ согласуется с уравне­нием (5.13), и возможность арбитража между этими двумя опционами и их базо­выми инструментами отсутствует.

Когда мы используем распределение, которое основано на значениях ариф­метического математического ожидания базового инструмента на дату истече­ния и значение этого ожидания отличается от текущей стоимости базового ин­струмента, мы должны вычесть разность (ожидание - текущая стоимость) из внутренней стоимости опциона и приравнять нулю значения меньше нуля. Та­ким образом, для любой формы распределения уравнение (5.11) дает нам ариф­метическое математическое ожидание опциона на дату истечения, при условии, что арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту равно его текущей цене (то есть направленное движение цены базового инструмента не предполагается).

Одиночная длинная позиция по опциону и оптимальное f