Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Рассмотрим обычную покупку колл-опциона. Вместо того чтобы для нахождения оптимального f использовать полную историю сделок по опционам данной ры­ночной системы, мы рассмотрим все возможные изменения цены данного опци­она за время его существования и взвесим каждый результат вероятностью его осуществления. Этот взвешенный по вероятностям результат является HPR, со­ответствующим цене покупки опциона. Мы рассмотрим весь спектр результатов (т.е. среднее геометрическое) для каждого значения f и таким образом найдем оп­тимальное значение. Почти во всех моделях ценообразования опционов вводными переменными, имеющими наибольшее влияние на теоретическую цену опциона, являются: (а) вре­мя, оставшееся до истечения срока, (б) цена исполнения, (в) цена базового инстру­мента и (г) волатильность. Некоторые модели могут иметь и другие вводные данные, но именно эти четыре переменные больше всего влияют на теоретическое значение. Из этих переменных две — время, оставшееся до истечения срока, и цена базового инструмента — переменные величины. Волатильность тоже может изменяться, од­нако редко в той же степени, что цена базового инструмента или время до истечения срока. Цена исполнения не изменяется.

С помощью нашей модели можно найти теоретическую цену для всех значений цен базового инструмента и времени, оставшегося до истечения срока. Таким образом, HPR для опциона является функцией не только цены базового инструмента, но и функцией времени, оставшегося до даты истечения опциона:

где f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инст­румента равна U - Y, а время, оставшееся до срока исте­чения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;

Р(Т, U) = 1-хвостая вероятность того, что цена базового инстру­мента равна U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно опреде­лить из любой формы распределения, которую пользова­тель посчитает подходящей;

Y = разность между арифметическим математическим ожи­данием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

С помощью этой формулы можно рассчитать HPR (взвешенное по вероятности результата) по сделке с опционом, при условии, что через время Т цена базового инструмента будет равна U. В данном уравнении переменная Т представляет собой долю года (выражен­ную десятичной дробью), оставшуюся до истечения срока опциона. Поэтому на дату истечения Т = 0. Если до истечения срока остается один год, то Т = 1. Пере­менная Z(T, U - Y) зависит от модели ценообразования, которую вы используете. Единственная переменная, которую вам надо рассчитать, — это Р(Т, U), т.е. веро­ятность того, что базовый инструмент будет равен U при заданном Т (т.е. времени, оставшемся до конца действия опциона). Если использовать модель Блэка-Шоулса или модель товарных опционов Блэка, то можно рассчитать Р(Т, U) следующим образом:

если U < или = О:

если U > Q:

где U = рассматриваемая цена;

Q = текущая цена базового инструмента;

V= годовая волатильность базового инструмента;

Е=доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор, когда опцион был приобретен;

N() = функция нормального распределения (уравнение (3.21));

ln() = функция натурального логарифма.

В итоге мы получим взвешенное по вероятности HPR для каждого исхода. Возможен широкий диапазон результатов, но, к сожалению, эти результаты не непрерывны. Например, время до истечения срока не задается непрерывной функцией. До истече­ния срока всегда остается целое число; то же верно и для цены базового инструмента. Если цена акции равна, например, 35, а минимальное изменение цены равно 1/8, то между 30 и 40 находится 81 возможное значение. Зная время, через которое мы собираемся продать опцион, можно рассчитать взвешенные по вероятности HPR для всех возможных цен на этот рыночный день. В нормальном распределении вероятности 99,73% всех результатов попада­ют в интервал трех стандартных отклонений от среднего, которое в нашем случае является текущей ценой базового инструмента. Поэтому нам необходимо рассчи­тать HPR для определенного рыночного дня и каждой дискретной цены между - 3 и + 3 стандартными отклонениями. Можно использовать 4, 5, 6 или больше стан­дартных отклонений, но ответ от этого не станет значительно точнее. Не следует также сокращать ценовое окно до 2 или 1 стандартного отклонения. Выбор 3 стандартньк отклонений, конечно, не является твердым правилом, но в боль­шинстве случаев оно приемлемо. Если мы используем модель Блэка-Шоулса или модель опционов на фьючер­сы Блэка, то можно узнать, какому изменению цены базового инструмента U со­ответствует 1 стандартное отклонение:

где U = текущая цена базового инструмента;

V = годовая волатильность базового инструмента;

Т = доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор. когда опцион был приобретен;

ЕХР() = экспоненциальная функция.