Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Теперь у нас есть математический метод, с помощью которого можно выхо­дить из позиции по опциону и покупать опцион при положительном математи­ческом ожидании. Если мы выйдем из позиции в день, когда среднее геометри­ческое максимально и оно больше 1,0, то следует покупать число контрактов, исходя из оптимального f, которое соответствует наивысшему среднему геомет­рическому. Математическое ожидание, о котором мы говорим, — это геометри­ческое ожидание. Другими словами, среднее геометрическое (минус 1,0) являет­ся математическим ожиданием, когда вы реинвестируете прибыли (арифмети­ческое положительное математическое ожидание будет, конечно же, выше, чем геометрическое).

После того как вы найдете оптимальное f для данного опциона, можно преобра­зовать полученное значение в число контрактов, которое следует покупать:

(5.19) K=INT(E/(S/f)),

где К = оптимальное число опционных контрактов для покупки;

f= значение оптимального Г(от 0 до 1);

S = текущая цена опциона;

Е = общий баланс счета;

1NT() = функция целой части.

Для расчета TWR следует знать, сколько раз мы хотели бы воспроизвести эту же сделку в будущем. Другими словами, если наше среднее геометрическое составля­ет 1,001 и необходимо найти TWR, которое соответствует этой же игре 100 раз подряд, то TWR будет 1,001^100 = 1,105115698. Поэтому можно ожидать за­работка в 10,5115698%, если провести эту сделку 100 раз. Формула для преобразо­вания среднего геометрического в TWR задается уравнением (4.18):

(4.18) TWR = Среднее геометрическое ^ X,

где TWR = относительный конечный капитал;

Х = число раз, которое мы «повторяем» эту игру.

Мы можем определить и другие побочные продукты, например, геометрическое математическое ожидание (среднее геометрическое минус 1). Если мы возьмем наибольший возможный проигрыш (стоимость самого опциона), разделим его на оптимальное f и умножим на геометрическое математическое ожидание, то полу­чим среднюю геометрическую сделку. Как вы уже заметили, при использовании метода оптимального f в торговле опционами появляется еще один побочный продукт — оптимальная дата выхода. Мы рассматривали позиции по опционам при отсутствии направленного движения цены базового инструмента. Для указанной даты выхода точки, сме­щенные на 3 стандартных отклонения выше и ниже, рассчитываются из теку­щей цены, таким образом, мы ничего не знаем о будущем направлении цены базового инструмента. В соответствии с математическими моделями ценообразования мы не получим положительное арифметическое математическое ожи­дание, если будем удерживать позицию по опциону до срока истечения. Одна­ко, как мы уже видели, можно достичь положительного геометрического мате­матического ожидания, если закрыть позицию в определенный день до срока истечения.

Если вы предполагаете определенное изменение цены базового инструмен­та, его можно учесть. Допустим, мы рассматриваем опционы на базовый инст­румент, который в настоящее время стоит 100. Далее предположим, что на ос­нове анализа рынка выявлен тренд, который предполагает цену 105 к дате исте­чения, и эта дата отстоит на 40 рыночных дней от сегодняшней даты. Мы ожидаем, что цена повысится на 5 пунктов за 40 дней. Если исходить из линей­ного изменения цены, то цена должна расти в среднем на 0,125 пунктов в день. Поэтому для завтрашнего дня (как дня выхода) мы возьмем значение U, равное 100,125. Для следующей даты выхода возьмем U, равное 100,25. К тому време­ни, когда указанная дата выхода станет датой истечения срока опциона, U бу­дет равно 105. Если базовым инструментом является акция, то вы должны вы­честь дивиденды из U, воспользовавшись уравнением (5.04). Тренд можно учи­тывать, если изменять каждый день значение U, исходя из сделанного прогноза. Так как уравнения (5.17а) и (5.176) изменятся, значения U повлияют на оптимальные f и побочные продукты. Отметьте, что в уравнениях (5.17а) и (5.176) используются новые значения U, т.е. происходит автоматическое при­ведение данных, следовательно, полученные оптимальные f будут основаны на данных, приведенных к текущей цене.

Когда вы будете использовать вышеописанную технику работы с оптималь­ным f, то заметите, что его значение каждый день меняется. Предположим, сегод­ня вы купили опцион и рассчитали оптимальную дату выхода. Послезавтра цена опциона может измениться, и если вы опять проведете процедуру расчета опти­мального f, то также можете получить положительное математическое ожидание, но уже. другую дату выхода. Что это означает?