Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Значения столбца «AHPR» являются средними арифметическими HPR (расчет будет рассмотрен позднее в этой главе), a GHPR является средним геометричес­ким HPR. Столбец «f» представляет оптимальные f, из которых находятся значе­ния столбцов AHPR и GHPR. Арифметическое математическое ожидание равно AHPR - 1, а геометрическое математическое ожидание равно GHPR - 1. Отметьте, что наибольшие математические ожидания (необязательно поло­жительные ожидания, как в этом примере) возникают в день после приобретения опциона. Каждый последующий день ожидания уменьшаются, причем скорость уменьшения с течением времени замедляется. После 911106 математические ожидания (HPR - 1) становятся отрицательными. ' Если бы нам пришлось торговать по этой информации, мы могли бы войти сегодня (911104) и выйти при закрытии завтра (911105). Справедливая цена оп­циона равна 2,861. Если мы допустим, что он котируется по цене 100 долларов за полный пункт, цена опциона составит 2,861 * $100 ^ $286,10. Разделив эту цену на оптимальное f= 0,0806, мы найдем, что следует торговать одним опци­оном на каждые 3549,63 доллара на балансе счета. Если бы мы держали опцион до закрытия 911106 (последний день), когда он все еще имеет положительное математическое ожидание, то открыв позицию сегодня, используя для дня вы­хода (911106) соответствующее оптимальное f= 0,0016, торговали бы 1 контрак­том на каждые 178 812,50 доллара на балансе счета ($286,10 / 0,0016). Отметьте, что при этом ожидание намного ниже, чем в случае торговли 1 контрактом на каждые 3549,63 доллара на балансе счета и выхода по цене закрытия завтра (911105).

Скорость изменения между двумя функциями: уменьшением премии с течением времени и расширением окна Х стандартных отклонений, может создать положи­тельное математическое ожидание для длинной позиции по опциону. Это ожидание имеет наибольшее значение в момент открытия позиции и после этого понижается с уменьшающейся скоростью. Таким образом, справедливо оцененный опцион (на основе вышеизложенных моделей) может иметь положительное математическое ожидание, если позицию по нему закрыть в начале периода падения премии. В следующей таблице рассматривается тот же колл-опцион с ценой исполнения 100, но на этот раз используются окна различного размера (различные значения стандартных отклонений):

Число стандартных отклонений
	2	3	5	8	10
AHPR	1,000102	1,000379	1,000409	1,000409	1,000409
GHPR	1,000047	1,00018	1,000195	1,000195	1,000195
f	0,043989	0,0781	0,0806	0,0806	0,0806
Дата выхода	911105	911105	911106	911106	911106

AHPR и GHPR — это арифметические и геометрические HPR при оптимальном f для дня закрытия 911105 (самая благоприятная дата выхода, так как она имеет наивысшие AHPR и GHPR). f соответствует оптимальному f для 911105. Значения строки «Дата выхода» — это последние даты, когда еще существует положитель­ное ожидание (т.е. когда AHPR и GHPR больше 1). Интересно отметить, что AHPR, GHPR, f и Дата выхода сходятся к опреде­ленным значениям, когда мы увеличиваем число стандартных отклонений. За пределами 5 стандартных отклонений эти значения едва заметно изменяются, за пределами 8 стандартных отклонений они практически вообще не изменя­ются. Недостатком использования большого числа стандартных отклонений является необходимость в значительном компьютерном времени. В нашем примере это не так важно, но когда мы будем рассматривать одновременную торговлю по нескольким позициям, вы увидите, что каждая дополнительная позиция экспоненциально увеличивает необходимое компьютерное время. Для одной позиции 8 стандартных отклонений более чем достаточно, однако для нескольких позиций, открытых одновременно, необходимо уменьшить число стандартных отклонений. Следует отметить, что правило 8 стандартных отклонений применимо только тогда, когда логарифмы изменений цены рас­пределены нормально.

Одиночная короткая позиция по опциону

Все сказанное по поводу одиночной длинной опционной позиции остается вер­ным и для одиночной короткой опционной позиции. Единственное отличие зак­лючается в ином написании уравнения (5.14):

где HPR(T, U) = НРR для данного тестируемого значения Т и U;

f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инст­румента равна U - Y, а время, оставшееся до срока исте­чения, равно Т,

Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, ког­да время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т;