Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Отметьте, что стандартное отклонение является функцией времени, прошедшего с момента открытия позиции.

Для точки, которая на Х стандартных отклонений выше текущей цены базово­го инструмента, получаем:

Для точки, которая на Х стандартных отклонений ниже текущей цены базового инструмента, получаем:

где U =текущая цена базового инструмента;

V =годовая волатильность базового инструмента;

Т =доля года, выраженная десятичной дробью, прошедшая с тех пор, когда опцион был приобретен;

EXPQ = экспоненциальная функция;

Х =число стандартных отклонений от среднего, для которых вы хо­ тите определить вероятности.

Далее следует описание процедуры поиска оптимального f для данного опциона.

Шаг 1. Решите, закроете ли вы позицию по опциону в какой-то конкрет­ный день. Если нет, тогда в дальнейших расчетах используйте дату ис­течения срока опциона.

Шаг 2. Определите, сколько дней вы будете удерживать позицию. Затем преобразуйте это число дней в долю года, выраженную десятичной дробью.

Шаг 3. Для дня из шага 1 рассчитайте точки, которые находятся между +3 и -3 стандартными отклонениями.

Шаг 4. Преобразуйте диапазоны цен из шага 3 в дискретные значения. Другими словами, используя приращения по 1 тику, определите все возможные цены диапазона, включая крайние значения.

Шаг 5. Для каждого из полученных результатов рассчитайте Z(T, U - Y) и Р(Т, U), то есть рассчитайте теоретическую цену опциона, а также ве­роятность того, что базовый инструмент к рассматриваемым датам будет равен определенной цене.

Шаг 6. После того, как вы выполните шаг 5, у вас будут все входные данные, необходимые для расчета взвешенного по вероятности HPR.

где f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инст­румента равна U - Y, а время, оставшееся до срока исте­чения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой модели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;

Р(Т, U) = 1-хвостая вероятность того, что цена базового инстру­мента равна U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно опре­делить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;

Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

Необходимо отметить, что форма распределения, используемого для Р(Т, U), не обязательно должна быть такой же, как и в модели ценообразования, применяе­мой для определения значений Z(T, U - Y). Например, вы используете модель фондовых опционов Блэка-Шоулса для определения значений Z(T, U - Y). Эта модель предполагает логарифмически нормальное распределение изменений цены, однако для определения соответствующего Р(Т, U) вы можете использовать другую форму распределения.

Шаг 7. Теперь мы можем начать поиск оптимального f с помощью метода итераций, перебирая все возможные значения f между 0 и 1, или с по­мощью метода параболической интерполяции, или любого другого одномерного алгоритма поиска. Подставляя тестируемые значения f в HPR (у вас уже есть HPR для каждого из возможных приращений цены между + 3 и - 3 стандартными отклонениями на дату истечения срока или указанную дату выхода), вы можете найти среднее геомет­рическое для данного тестируемого значения f. Для этого надо пере­множить все HPR, и полученное произведение возвести в степень единицы, деленной на сумма вероятностей:

поэтому

где G(f, T) = среднее геометрическое HPR для данного тестируемого зна­чения f;

f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инстру­мента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т. Эту цену можно определить с помощью любой мо­дели ценообразования, которую пользователь посчитает подходящей;

Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда вре­мя, оставшееся до истечения срока исполнения, равно Т. Это значение можно определить из любой формы распределения, которую пользователь посчитает подходящей;

Y = разность между арифметическим математическим ожидани­ем базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и теку­щей ценой.

Значение f, которое в результате даст наибольшее среднее геометрическое, явля­ется оптимальным.

Мы можем оптимизировать f, определив оптимальную дату выхода. Другими словами, мы можем найти значение оптимального f для данного опциона на каж­дый день между текущим днем и днем истечения. Запишем оптимальные f и сред­ние геометрические для каждой указанной даты выхода. Когда мы завершим эту процедуру, мы сможем найти ту дату выхода, которая даст наивысшее среднее гео­метрическое. Таким образом, мы получим день, когда должны выйти из позиции по опциону для того, чтобы математическое ожидание было наивысшим (т.е. среднее геометрическое было наивысшим). Мы также узнаем, какое оптимальное количество контрактов следует купить.