Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Таким образом, с вероятностью 2,275% событие в нормально распределенном случайном процессе будет равно или превышать +2 стандартные единицы. Это показано на рисунке 3-9.

Рисунок 3-8Уравнение (3.21) для вероятности Z=+2

Рисунок 3-9 Устранение оговорки «Если Z < 0, то N(Z) = 1 - N(Z)» в уравнении (3.21)

До сих пор мы рассматривали площади под кривой 1-хвостых распределений вероятности. То есть до настоящего момента мы отвечали на вопрос: «Какова вероятность события, которое меньше (больше) заданного количества стан­дартных единиц от среднего?» Предположим, теперь нам надо ответить на та­кой вопрос: «Какова вероятность события, которое находится в интервале между определенным количеством стандартных единиц от среднего?» Други­ми словами, мы хотим знать, как подсчитать 2-хвостые вероятности. Посмот­рим на рисунок 3-10. Он представляет вероятности события в интервале двух стандартных единиц от среднего. В отличие от рисунка 3-8 этот расчет вероят­ности не включает крайнюю область левого хвоста, область меньше -2 стан­дартных единиц. Для расчета вероятности нахождения в диапазоне Z стандар­тных единиц от среднего вы должны сначала рассчитать 1-хвостую вероят­ность абсолютного значения Z с помощью уравнения (3.21), а затем получен­ное значение подставить в уравнение (3.22), которое дает 2-хвостые вероятно­сти (то есть вероятности нахождения в диапазоне ABS(Z) стандартных единиц от среднего):

(3.22) 2-хвостая вероятность =1-((1- N(ABS(Z))) * 2)

Если мы рассматриваем вероятности наступления события в диапазоне 2 стандар­тных отклонений (Z = 2), то из уравнения (3.21) найдем, что N(2) = 0,9772499478 и можно использовать полученное значение для уравнения (3.22):

2-хвостая вероятность =1-((1- 0,9772499478) * 2) =1-(0,02275005216*2) = 1 - 0,04550010432 = 0,9544998957

Таким образом, из этого уравнения следует, что при нормально распределенном случайном процессе вероятность события, попадающего в интервал 2 стандарт­ных единиц от среднего, составляет примерно 95,45%.

Как и в случае с уравнением (3.21), можно убрать первую единицу в уравне­нии (3.22), чтобы получить (1 - N(ABS(Z))) * 2, что представляет вероятности события вне ABS(Z) стандартных единиц от среднего. Это отображено на рисун­ке 3-11. Для нашего примера, где Z = 2, вероятность события при нормально рас­пределенном случайном процессе вне 2 стандартных единиц составляет:

2-хвостая вероятность (вне) = (1 - 0,9772499478) * 2 =0,02275005216*2 =0,04550010432

Наконец, мы рассмотрим случай, когда надо найти вероятности (площадь под кривой N'(Z)) для двух различных значений Z.

Рисунок 3-10 2-хвостая вероятность события между +2 и -2 сигма

Рисунок 3-11 2-хвостая вероятность события, находящегося вне 2 сигма

Допустим, нам надо найти площадь под кривой N'(Z) между -1 стандартной еди­ницей и +2 стандартными единицами. Есть два способа расчета. Мы можем рассчитать вероятность, не превыша­ющую +2 стандартные единицы, при помощи уравнения (3.21) и вычесть ве­роятность, не превышающую -1 стандартную единицу (см. рисунок 3-12). Это даст нам:

0,9772499478 - 0,1586552595 = 0,8185946883

Рисунок 3-12 Площадь между -1 и +2 стандартными единицами

Другой способ: из единицы, представляющей всю площадь под кривой, надо вы­честь вероятность, не превышающую -1 стандартную единицу, и вероятность, превышающую 2 стандартные единицы:

= 1 - (0,022750052 + 0,1586552595) = 1 -0,1814053117 =0,8185946883

С помощью рассмотренных в этой главе математических подходов вы сможете рассчитывать любые вероятности событий для случайных процессов, имею­щих нормальное распределение.

Последующие производные нормального распределения

Иногда требуется знать вторую производную функции N(Z). Так как функция N(Z) дает нам значение площади под кривой при Z, а функция N'(Z) дает нам высоту самой кривой при значении Z, тогда функция N"(Z) дает нам мгновенный наклон (instantaneous slope) кривой при данном значении Z:

где ЕХР() = экспоненциальная функция.

Найдем наклон кривой N'(Z) при +2 стандартных отклонениях:

N"(Z) = -2 I 2,506628274 * ЕХР(-(+2^ 2) / 2) = -2 / 2,506628274 * ЕХР(-2) = -2 / 2,506628274 * 0,1353353 =-0,1079968336

Теперь мы знаем, что мгновенная скорость изменения функции N'(Z) при Z = +2 равна-0,1079968336. Это означает повышение/понижение за период, поэтому, когда Z = +2, кривая N'(Z) повышается на -0,1079968336. Эта ситуация показана на рисунке 3-13.

Последующие производные даются далее для справки. Они не будут использо­ваться в оставшейся части книги и представлены для полноты освещения темы: