Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 23. Экспоненциальное распространение болезни с базовым показателем репродукции R₀ равным 2. Первое инфицированное лицо считается нулевым поколением. К четвертому поколению инфицируются уже 16 человек

В конечном счете, даже когда зараженных не будет и вспышка официально закончится, некоторые восприимчивые к инфекции люди еще останутся. Еще в 1920-х годах Кермак и Маккендрик предложили формулу, в которой базовый показатель репродукции использовался для предсказания количества восприимчивых лиц, которых инфекция не затронет до самого конца вспышки. При значении R₀ около 1,5 формула Кермака и Маккендрика предсказывает, что вспышка лихорадки Эбола в 2013–2016 годах поразила бы 58 % популяции, если бы не было принято никаких мер. Вспышки полиомиелита, напротив, имеют R₀ около 6, что, по прогнозам Кермака и Маккендрика, означает, что без вмешательства только четверть процента населения переживет эпидемию, не заразившись.

Базовый показатель репродукции – универсальный индикатор для описания вспышки инфекции, поскольку он «упаковывает» все тонкости передачи болезни в единственное число. От особенностей развития инфекции в организме до способа ее передачи и даже структуры общества, в котором она распространяется, этот показатель учитывает все ключевые особенности вспышки и позволяет адекватно реагировать на нее. R₀, как правило, можно разделить на три компонента: численность населения; скорость, с которой заражаются восприимчивые к инфекции люди (часто называемая силой инфекции); и срок выздоровления – или смерти от болезни. Повышение первых двух факторов увеличивает R₀, в то время как ускорение выздоровления уменьшает его. Чем больше население и чем быстрее болезнь распространяется между отдельными лицами, тем выше вероятность вспышки. Чем быстрее люди выздоравливают, тем меньше времени они передают болезнь другим и, следовательно, тем ниже вероятность вспышки. Имея дело с заболеваниями человека, чаще всего мы можем контролировать только первые два фактора. Хотя антибиотики или противовирусные препараты могут сократить течение некоторых заболеваний, скорость выздоровления или смертность часто являются свойством, присущим самому болезнетворному патогену. С показателем R₀ тесно связана величина, называемая реальным коэффициентом репродукции (часто обозначается как R_e) – среднее число вторичных инфекций, вызванных инфицированным лицом в определенный момент развития вспышки. Если медицинское вмешательство позволяет сбить значение R_e ниже 1, то эпидемия утихнет.

Показатель R₀ имеет решающее значение для борьбы с эпидемиями, но он не говорит, насколько болезнь опасна для инфицированного человека. Крайне заразное заболевание, такое как корь, например, имеющее показатель R₀ от 12 до 18, обычно считается менее опасным, чем, допустим, лихорадка Эбола, у которой R₀ составляет около 1,5. Если корь распространяется быстро, смертность от кори относительно низкая, особенно в сравнении с 50–70-процентной вероятностью смерти в случае заражения лихорадкой Эбола.

Парадоксально, но болезни с высоким уровнем смертности, как правило, менее контагиозны. Если болезнь убивает слишком много своих жертв слишком быстро, то это снижает ее шансы на дальнейшее распространение. Заболевания, которые убивают большинство зараженных ими людей и при этом эффективно распространяются, очень редки. Чаще всего они встречаются в фильмах-катастрофах. Хотя высокий уровень смертности значительно увеличивает страх, связанный со вспышкой инфекции, болезни с высоким R₀, но с низким уровнем смертности в конечном счете могут оказаться более фатальными в силу того, что инфицируют большее количество людей.

Математика диктуем нам, что после принятия решения о начале борьбы с эпидемией показатель уровня смертности не дает полезной информации о том, как замедлить распространение болезни. Тем не менее три фактора, составляющие R₀, подсказывают, какие меры стоит предпринять, чтобы остановить вспышки смертельных заболеваний прежде, чем они выйдут из-под контроля.

Укрощение эпидемий

Одним из наиболее эффективных способов снижения распространения инфекции является вакцинация. Перемещая людей из категории восприимчивых сразу в категорию «выбывших», минуя инфекционное состояние, она эффективно уменьшает размер популяции, восприимчивой к инфекции. Вакцинация, однако, как правило, является предупредительной мерой. Ее применяют, чтобы уменьшить вероятность вспышек. Если же вспышка инфекции все же произошла, попытки разработать и испытать эффективную вакцину в обозримый срок обычно уже нецелесообразны.