Методика преподавания математики в начальной школе

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное а : b – число таких подмножеств.

В соответствии с этим обосновывается выбор арифметического действия для решения задач:

а) Мама дала Пете 15 орехов. Он раздал поровну своим друзьям – Диме и Сереже, а также себе. Сколько орехов получил каждый мальчик?

В задаче рассматривается множество, в котором 15 элементов – орехов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества, т.к мальчиков трое. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 15 : 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: каждый мальчик получил по 5 орехов.

б) Доктор раздал 12 таблеток витаминов по 3 каждому ребенку. Сколько детей получили таблетки витаминов?

Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти с помощью деления: 12 : 3. Вычислив значение этого выражения – 12 : 3 = 4, получаем ответ на вопрос задачи: таблетки получили четыре ребенка.

II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму

В математике при различных вычислениях пользуются правилами деления суммы на число. Дадим теоретико-множественное обоснование этим правилам.

Правило деления суммы на число:

Если частные а : с и b : с существуют, то (а + b) : с = а : с + b : с.

Пусть а = n (A), b = n (B) и A ∩ B= Ø. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а : с подмножеств, а множество В – из b : с подмножеств, то А U В состоит из а : с+ b : с подмножеств. Это и значит, что (а + b) : с = а : с+ b : с.

III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в»

С теоретико-множественной точки зрения рассматриваются и отношения «больше в», «меньше в», которые рассматриваются в текстовых задачах.

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения натуральных чисел: если а : b = c, то можно говорить,

что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее разделить на меньшее.

Если а = n (A), b = n (B) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b , то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А , но так как «а меньше b в с раз», то множество В можно разбить на с подмножеств, равночисленных множеству А.

Так как с – это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве – а элементов, то

с = b : а.

а) У Дениса было 3 тетрадей в клетку, а в линию в 4 раза больше. Сколько тетрадей было у Дениса?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве тетрадей в клетку (А) и множестве тетрадей в линию (В). Известно, что n (A) = 3 и что в множестве В элементов в 4 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (B).

Т.к. в множестве В элементов в 4 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 4 подмножества, равномощных множеству А. Поскольку в каждом подмножестве содержится по три элемента, то всего в множестве В будет содержатся четыре раза по 3 элемента: 3 + 3 + 3 + 3 или

3 × 4 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: тетрадей в линию у Дениса 12.

А

В

б) У Дениса 10 солдатиков, а у Толи в 2 раза меньше. Сколько солдатиков у Толи?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве солдатиков у Дениса (А) и множестве солдатиков у Толи (В). Известно, что n (A) = 10 и что в множестве В элементов в 2 раза меньше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (B).

Т.к. в множестве А элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, т.к. сказано, что в множестве В элементов меньше. То множество А можно разбить на 2 равночисленных подмножества, равномощных множеству В. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 10 : 2. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: у Толи 5 солдатиков.

А

В