Методика преподавания математики в начальной школе

n(А1) = n(А2) = n(А3)= n(А4)= 3, то n(А1 U А2 U А3 U А4) = n(А1) + n(А2) + n(А3) + n(А4)= 3 + 3 + 3 + 3= 3 × 4. Произведение 3 × 4 является математической моделью данной задачи. Т.к. 3 × 4 = 12, то получаем ответ на вопрос: у четырех детей 12 конфет.

Существует другое толкование умножения с теоретико-множественной позиции, которое связано с понятием декартова произведения множеств.

Этот подход следует из теоремы:

Пусть А и В конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство:

n(A × B) = n(A) ·n(B).

Тогда A × B состоит из пар вида (a , b), (a , b), …, (a , b), число которых равно n.

Если n = 1, то n(A)= а, n(B) = 1, то в этом случае имеем:n(A × B) = n(A)·n(B) = а · 1 = а.

При k = 0 данное равенство также верно, поскольку B = Ø и n(A × Ø) = n(A)·n(Ø) = а · 0 = 0.

Из этого следует, что с теоретико-множественной с теоретико-множественной точки зрения произведение а · b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множества А и В, таких, что а = n (A), b = n (B):

а · b = n(A) ·n(B) = n(A × B).

II. Теоретико-множественный смысл свойств умножения

Благодаря такому подходу и смысл свойств умножения как арифметического действия:

1) коммутативное свойство – а · b = b · a,

2) ассоциативное свойство – (а · b) ·c = a· (b·c),

3) дистрибутивное свойство – (a + b) ·c = a·c + b·c.

1) Смысл равенства а · b = b · a

Хотя множества A × B и В × А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества A × B можно поставить в соответствие единственную пару (b, a) из множества В × А, и наоборот. Значит, n(A × B) = n(В × A) и поэтому а · b = b · a.

а · b = n(A × B) = n(В × A) = b · a

2) Ассоциативность (а · b) · c = a · (b · c) доказывается аналогично.

Множества A × (B × С) и (A × B) × С различны, но равномощны: каждой паре (а, (b, с)) из множества A × (B × С) соответствует единственная пара ((а, b), с) из множества (A × B) × С и наоборот. Поэтому n(A × (B × С)) = n ((A × B) × С), а следовательно a (b c)= (а b) c.

3) Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства * А ×(В U С) = (А × В) U (А × С), а вычитания из равенства А ×(В \ С) = (А × В) \ (А × С).

(Ұа, b,c Є Z) a · (b + c)= a· b + a·c (a +b) · c= a· с + b ·c

а = n (A), b = n (B), с = n (С):

Если А умножить на В и С, то А ×(В U С) = (А × В) U (А × С)

a· (b·c) = n (A) × n(В U С) = n(A ×(В U С)) = n((А × В) U (А × С))=

на основе рав.*      

= n(А × В) + n(А × С) = a·b + a·c

Таким образом, умножение определяется через сложение, а особые случаи умножения с нулем принимаются по определению: а · 1 = а, а · 0 = 0.

Теоретико-множественный смысл частного

План:

I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел.

II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму.

III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в».

IV. Теоретико-множественный смысл деления с остатком.

I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел

С теоретико-множественной      точки зрения деление чисел – операция обратная умножению и связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются задачи двух видов:

– деление на равные части (нахождение числа элементов в каждом подмножестве разбиения);

– деление по содержанию (отыскание числа таких подмножеств).

Если а = n (A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число подмножеств, то частное а : b – число элементов в каждом подмножестве;