Наука Плоского мира. Книга 3. Часы Дарвина

Он понимал, какую кашу заваривает: «Я прекрасно осознаю, что, принимая такое действие, я противопоставляю себя распространенным в математике взглядам на бесконечность и нынешним мнениям относительно природы чисел». И получил то, чего ожидал – враждебное отношение, особенно со стороны Леопольда Кронекера. «Бог создал целые числа, остальное – творение Человека», заявил последний.

Но в наши дни большинство людей полагает, что целые числа – это тоже творение Человека.

Зачем вводить новый знак (да еще и из еврейского алфавита)? Если бы, по мнению Кантора, существовала лишь одна бесконечность, он мог бы, как все, просто называть ее «бесконечностью» и в качестве ее символа использовать лежащую на боку восьмерку. Но под своим углом зрения он быстро заметил, что могут существовать и другие бесконечности и дал им правильные имена: алеф-один, алеф-два, алеф-три и так далее.

Как это так – другие бесконечности? Они оказались важным и неожиданным следствием из простой детской идеи сопоставления. Чтобы описать, откуда они взялись, нам нужно немного рассказать о действительно больших числах. И конечных, и бесконечных. Для того чтобы вы убедились, что они не такие уж страшные, мы примем одну условность.

Если n – это любое число любого размера, то n-плекс будет означать 10n, то есть 1 с n нулей. Так, 2-плекс равен 100 (ста), 6-плекс – 1000000 (миллиону), 9-плекс – миллиарду. При n = 100 у нас получится гугл, значит, гугл = 100-плекс. Гуглплекс по аналогии можно назвать 100-плекс-плексом.

Подобно Кантору, мы начинаем праздно размышлять о бесконечно-плексе. Но давайте выразимся точнее: как нам быть алеф-нуль-плексом? Чему равен 10алеф-нуль?

Как ни странно, на этот вопрос существует вполне разумный ответ. Это мощность множества всех действительных чисел – то есть всех чисел, которые можно представить в виде бесконечно длинной десятичной дроби. Вспомните Птагонала, философа из Эфеба, которому, как утверждается, принадлежит высказывание: «…существует отношение длины окружности к диаметру… Оно должно быть равно трем. Но так ли это на самом деле? Нет. Три целых, один, четыре, один и так далее и так далее. И все один и четыре, один и четыре. От такого можно в стельку напиться»[50]. Конечно, это намек на известнейшее из действительных чисел, для точной записи которого необходимо указать бесконечное число десятичных знаков, – π («пи»). С точностью до десятой π равно 3,1. До сотой – 3,14. До тысячной – 3,141. И так далее до бесконечности.

Кроме π, есть и огромное количество других действительных чисел. Насколько велико их фазовое пространство?

Рассмотрим десятичные знаки. Если мы ограничимся одной цифрой после запятой, получится 10 возможностей: любая из цифр 0, 1, 2… 9. Ограничимся двумя – 100 возможностей: от 00 до 99. Тремя – 1000 возможностей: от 000 до 999.

Закономерность очевидна. Если мы ограничимся n знаками после запятой, получится 10n возможностей. Иными словами – n-плекс.

Если эти знаки будут продолжаться «вечно», то необходимо уточнить, о какой именно «вечности» идет речь. И ответом будет «алеф-нуль Кантора», потому что в нем есть первая цифра после запятой, вторая, третья… и их можно соотнести с целыми числами. И если мы примем n за алеф-нуль, то мощность множества всех действительных чисел (не считая знаки перед запятой) будет равно алеф-плексу. Если все же учитывать знаки перед запятой, это утверждение тоже будет справедливым, но уже по более сложным причинам[51].

Это все очень хорошо, но если все бесконечности должны быть равны, то разве алеф-нуль-плекс не будет неразличим? Нет. Они не равны. Кантор доказал, что нельзя соотнести действительные числа с целыми. Отсюда следует, что алеф-нуль-плекс больше, чем алеф-нуль.

Но он пошел дальше. Гораздо дальше. Он доказал[52], что если n – это мощность любой бесконечности, то n-плекс будет больше нее. Значит, алеф-нуль-плекс-плекс еще больше, алеф-нуль-плекс-плекс-плекс – еще больше, а…

Перечень бесконечностей Кантора не имеет конца. Такой «гипербесконечности», которая была бы больше остальных, просто нет в природе.

Представление о бесконечности как о «самом большом возможном числе» здесь сталкивается с некоторыми трудностями. А разумный подход к бесконечной арифметике выглядит следующим образом.

Если взять любую бесконечную мощность алеф-n, то алеф-n-плекс будет больше ее. Тогда вполне естественным будет допустить, что она составит алеф-(n+1) – это утверждение называется обобщенной континуум-гипотезой. В 1963 году Пол Коэн (не имеющий известного отношения к Джеку-варвару) доказал, что… в общем, здесь бывает по-разному. Для одних множеств теория справедлива, для других – нет.

Математика основывается на том, что лучше сначала построить дом, а потом уже фундамент. Тогда этот фундамент можно будет убрать, если он вам не понравится, и заменить другим. И при этом не задеть самого дома.