Наука Плоского мира. Книга 3. Часы Дарвина

Отель Гильберта приучает нас быть осторожными, когда мы делаем предположения о бесконечности. Она может вести себя не так, как обычные конечные числа. Если добавить к ней единицу, она не станет больше. Если умножить бесконечность на бесконечность, она все равно не станет больше. Вот такая она, бесконечность. Можно даже сказать, что любая сумма, включающая бесконечность, становится бесконечной, потому получить что-либо большее, чем бесконечность, нельзя.

Так все и думали – но это справедливо только для потенциальных бесконечностей в виде последовательностей конечного числа шагов, которые теоретически могут продолжаться сколько угодно. Однако в 1880 году Кантор задумался об актуальных бесконечностях и открыл настоящий ящик Пандоры с еще бóльшими бесконечностями. Он назвал их трансфинитными числами, столкнувшись с ними, когда работал в традиционной и даже священной области математического анализа. Это и вправду была трудная техническая задача, и она вывела его на незнакомую дорогу. Глубоко погрузившись в природу этих вещей, Кантор отвлекся от своей работы в столь уважаемой области анализа и начал размышлять о кое-чем более сложном.

О счете.

Мы обычно знакомим детей с числами, когда учим их считать. Они узнают, что числа – это «то, что мы используем для счета». Например, «семь» – это число, на котором мы остановимся в воскресенье, если начнем с «одного» в понедельник. Значит, количество дней в неделе равно семи. Но что это за зверь такой – семь? Слово? Нет, ведь вместо него можно использовать знак «7». Знак? Но ведь есть же слово… К тому же на японском знак «7» выглядит по-другому. Там что значит 7? Легко сказать: семь дней, семь овечек, семь цветов радуги… Но что такое само число? Вам никогда не попадется голая «семерка», она всегда привязана к какой-нибудь совокупности.

Кантор решил сделать из нужды добродетель и объявил, что число – это что-то, связанное с множеством или совокупностью предметов. Множество можно составить из любой совокупности любых предметов. Интуитивно вы понимаете, что число, которое получится у вас при подсчете, показывает, сколько предметов содержится во множестве. Множество дней недели обозначено числом «семь». Удивительное свойство подхода Кантора заключается вот в чем: вы можете, не проводя подсчетов, определить, есть ли другие множества с семью предметами. Для этого достаточно лишь попытаться сопоставить предметы из множества, чтобы каждый предмет в одном множестве в точности соответствовал предмету в другом. Если, к примеру, взять в качестве второго множества цвета радуги, получится что-то вроде следующего:

Понедельник – Красный

Вторник – Оранжевый

Среда – Желтый

Четверг – Зеленый

Пятница – Синий

Суббота – Фиолетовый[48]

Воскресенье – Октариновый

Порядок, в котором они перечислены, не имеет значения. Но нельзя связывать вторник одновременно с фиолетовым и зеленым или зеленый одновременно со вторником и воскресеньем. Как и вычеркивать предметы из множества.

А если вы попытаетесь сопоставить дни недели со слонами, держащими Диск, у вас ничего не выйдет:

Понедельник – Берилия

Вторник – Тубул

Среда – Великий Т'Фон

Четверг – Джеракин

Пятница –?

Точнее, у вас закончатся слоны. Даже легендарный пятый элефант не позволит вам продвинуться дальше пятницы.

Так в чем же разница? Ну, в неделе семь дней, а в радуге семь цветов, поэтому они легко соотносятся друг с другом. Но слонов всего четыре (раньше, возможно, было пять), а четыре или пять нельзя соотнести с семью.

Глубинный философский смысл этой задачи состоит в том, что вам не нужно знать о числах четыре, пять или семь, чтобы понять, что они не соотносятся. Сами числа играют второстепенную роль. Соотнесение по логике первично в сравнении со счетом[49]. А всем множествам, которые соотносятся друг с другом, можно приписать общий символ, или «мощность», которая, по сути, и будет этим числом. Например, мощность множества дней недели равна семи, и она же применима к любому множеству, которое с ним соотносится. Так что мы можем обосновать наше понятие о числах на более простом понятии о соотнесении.

Итак, пока ничего нового. Но «соотнесение» имеет смысл не только для конечных, но и для бесконечных множеств. Можно соотнести четные числа со всеми числами:

2 1

4 2

6 3

8 4

10 5

…

и так далее. Соотнесения таких множеств объясняют случай отеля Гильберта. Именно отсюда Гильберт почерпнул свою идею (сначала крыша, а потом фундамент, помните?).

Какова мощность множества всех чисел (и, соответственно, любого соотносящегося с ним числа)? Традиционно ее называют «бесконечностью». Кантор в 1883 году осмотрительно предпочел название, которое вызывало меньше ассоциаций, – «алеф», первой буквы еврейского алфавита. И добавил нолик – очень скоро вы узнаете, почему, – получив «алеф-нуль».