Наука Плоского мира. Книга 3. Часы Дарвина

Давид Гильберт был одним из двух лучших математиков планеты в конце XIX века и одним из великих энтузиастов нового подхода к бесконечности, в котором – в отличие от описанного нами ранее – она рассматривалась не как процесс, а как объект. Этот новый подход был детищем Георга Кантора, немецкого математика, чья работа завела его на территорию, чреватую своими логическими ловушками. Почти целое столетие вся эта область пребывала в полном беспорядке (что, впрочем, отнюдь не являлось редкостью). В конце концов он решил покончить с этим раз и навсегда, вырыв яму для еще не существующего основания, а не начав с возведения стен. Он был не единственным, кто это предпринимал, зато оказался одним из самых радикальных из всех. Ему удалось разобраться в этой области, но только создав при этом новые проблемы в других.

Многие математики ненавидели идеи Кантора, но Гильберту они нравились, и он их рьяно защищал. «Никто, – заявлял он, – не изгонит нас из рая, созданного Кантором». Хотя, сказать по правде, это был не столько рай, сколько парадокс. Гильберт объяснил некоторые свойства парадокса бесконечности по Кантору с помощью вымышленного отеля, получившего известность как отель Гильберта.

В этом отеле бесконечно много номеров. Они пронумерованы: 1, 2, 3, 4 и далее до бесконечности. Здесь мы видим образец актуальной бесконечности: все его номера существуют уже сейчас, и никто не достраивает nn-сиксиллиарднопервый номер. Но когда вы приезжаете в него воскресным утром, все номера оказываются занятыми.

В отеле с конечным числом номеров – будь там хоть nn-сиксиллиардов один номер – вы бы попали в засаду. Никакие переселения постояльцев не позволят освободить лишнюю комнату. (Для простоты условимся на том, что подселения в занятые номера здесь исключены: в каждом номере живет по одному постояльцу, не больше – иначе нарушаются санитарные правила).

Однако в отеле Гильберта всегда найдется место для неожиданного гостя. Конечно, не в комнате номер бесконечность – ведь такого номера не бывает. В комнате номер один.

Но что делать с беднягой, занимавшим первый номер? Его можно переселить во второй. Того, кто во втором, – в третий. И так далее. Постояльца из nn-сиксиллиардного номера в nn-сиксиллиарднопервый. А из nn-сиксиллиарднопервого – в nn-сиксиллиардновторой.

В каждом из случаев постоялец из номера n переселяется в номер n+1.

В отеле с конечным числом номеров – nn-сиксиллиардами одной комнатой – это мероприятие столкнется с препятствием. В нем нет nn-сиксиллиардновторого номера, чтобы поселить туда постояльца из предыдущей комнаты. А в отеле Гильберта они не заканчиваются, и каждого можно переселить в следующую. Как только все это будет проделано, отель снова будет забит до отказа.

Но это еще не все. В понедельник к заполненному отелю Гильберта подъезжает автобус с 50 людьми. Да пожалуйста. Управляющий переселяет всех на 50 номеров вперед: из 1-го в 51-й, из 2-го в 52-й и так далее. И номера с 1-го по 50-й освобождаются для группы из автобуса.

Во вторник прибывает автобус компании «Бесконечные туры» с бесконечным числом туристов, для упрощения пронумерованных A1, A2, A3… Для них-то наверняка мест не будет? Как бы не так! Прежних постояльцев переселяют в четные номера: из 1-го во 2-й, из 2-го в 4-й, из 3-го в 6-й и так далее. Нечетные номера освобождаются, и турист A1 заселяется в 1-й номер, A2 – в 3-й, A3 – в 5-й… Все просто.

В среду управляющий рвет на себе волосы, когда прибывает бесконечное множество автобусов из «Бесконечных туров». Сами автобусы обозначены буквами бесконечного алфавита: A, B, C… А прибывшие в них туристы – A1, A2, A3…, B1, B2, B3…, C1, C2, C3… и так далее. И тут управляющего посещает гениальная мысль. В бесконечно большом углу бесконечно большой парковки он группирует всех новоприбывших в бесконечно большой квадрат:

A1 A2 A3 A4 A5…

B1 B2 B3 B4 B5…

C1 C2 C3 C4 C5…

D1 D2 D3 D4 D5…

E1 E2 E3 E4 E5…

…

А затем выстраивает в одну бесконечно длинную линию в порядке:

A1 – A2 B1 – A3 B2 C1 – A4 B3 C2 D1 – A5

B4 C3 D2 E1 …

(Чтобы понять закономерность, посмотрите на последовательность диагоналей, тянущихся из верхнего правого угла в нижний левый. Чтобы разделить их, мы вставили дефисы.) Большинство людей сейчас переселило бы прежних постояльцев в четные номера и заполнило бы нечетные новоприбывшими в порядке бесконечно длинной очереди. Это возможно, но есть более красивый способ, и управляющий, будучи математиком, сразу же его находит. Он загружает всех в один автобус, рассаживая туристов в порядке бесконечно длинной очереди. Таким образом он сводит задачу до предыдущей, которую мы уже решили[47].