Наука Плоского мира. Книга 3. Часы Дарвина

Когда вспыхивает новая математическая идея, никто не может ее как следует понять – и это естественно, раз уж она новая. И никто особо не старается разобраться во всех логических тонкостях и понять ее смысл, пока не убедится, что она того стоит. Поэтому основной упор делается на том, что исследователи развивают эти идеи и смотрят, приведут ли они к чему-нибудь интересному. У математиков понятие «интересного», как правило, сопряжено с ответом на вопрос: «Смогу ли я развить ее дальше?» – но решающее значение имеет другой: «Какие проблемы она поможет решить?». Лишь получив на них удовлетворительные ответы, несколько дерзких и придирчивых душ спускаются в подвал и добавляют подобающий фундамент.

Математики применяли бесконечность задолго до того, как поняли, что это такое или как с ней правильно обращаться. В 500 году до н. э. Архимед, величайший греческий математик и серьезный претендент на место в тройке лучших математиков всех времен, вычислил объем сферы путем ее (мысленного) деления на бесконечное множество бесконечно тонких дисков – наподобие тончайше нарезанной буханки хлеба, – и их уравновешивания для сравнения их общего объема с объемом соответствующей фигуры, объем которой был известен ему заранее. Получив ответ благодаря этому поразительному методу, он посчитал по новой и обнаружил, как ему можно должным образом доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью он не знал бы даже, с чего начать, а его логичное доказательство не сдвинулось бы и с места.

Во времена Леонарда Эйлера – столь плодовитого деятеля, что его можно было бы назвать Терри Пратчеттом математики XVIII века, – многие из ведущих ученых увлекались «бесконечными рядами» – ставшими потом кошмарами школьников в виде сумм, не имеющих конца. Вот, например:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

где «…» означает «и так далее». Математики заключили, что если эта бесконечная сумма и складывается во что-нибудь разумное, то это просто число два[46]. Если вы остановитесь в любой определенный момент, то у вас получится чуть-чуть меньше двух. При этом разница между двумя и вашим числом с каждым шагом будет уменьшаться. Сумма как бы подкрадывается к правильному ответу, но не добирает до нее, а вот недостающее число можно уменьшать столько, сколько хотите, добавляя новые слагаемые.

Ничего не напоминает? Это выглядит подозрительно похожим на один из парадоксов Зенона Элейского/Эфебского. Ведь именно таким образом стрела приближается к жертве, а Ахиллес – к черепахе. Именно так можно совершить бесконечно много дел за конечный промежуток времени. Сделайте одно дело, через минуту сделайте второе, третье сделайте через полминуты, четвертое – через четверть минуты… и так далее. Спустя две минуты вы уже переделаете бесконечное множество дел.

Понимание того, что бесконечные суммы могут иметь осмысленное значение, – это только начало. Но оно еще не избавляет нас от всех парадоксов. Более того, в основном это их обостряет. Математики пришли к выводу, что бесконечности могут быть как безвредными, так и наоборот.

После такого блестящего озарения остался лишь один вопрос: как их различить? Ответ таков: если ваше понимание бесконечности не ведет к логическим противоречиям, значит, она безопасна, и если же ведет – то нет. Ваша задача – дать подходящее определение тому, чем вас интересует «бесконечность». Нельзя просто принять, что она имеет смысл по умолчанию.

В течение XVIII и начала XIX столетия математики вывели много понятий «бесконечности» – и все они были потенциальными. В проективной геометрии «бесконечно удаленной точкой» называют ту, что находится на пересечении двух параллельных линий, которые уходят вдаль, как железнодорожные пути, и будто встречаются на горизонте. Но если поезд движется по плоскости, горизонт оказывается бесконечно далеким и вообще не лежит в плоскости – это зрительный обман. То есть бесконечно удаленные точки определяются процессом бесконечного перемещения по железнодорожным путям. Поезд никогда ее не достигает. В алгебраической геометрии окружность определена как «коническое сечение, проходящее через две воображаемые бесконечно удаленные циклические точки» – это можно легко воспроизвести с помощью пары циркулей.

Математики пришли к единому мнению, и вот к чему оно сводилось. Используя термин «бесконечность», вы всегда подразумеваете процесс. Если он приводит к точно определенному результату, как бы запутанно вы бы его ни объяснили, этот результат придает тот смысл, который вы вкладываете в слово «бесконечность» в данном контексте.

Бесконечность – это контекстозависимый процесс. Она потенциальна.

Но дальше так продолжаться не могло.