Нестандартные задачи по математике в 4 классе

Задача 158.Поезд прошел мост длиной 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью?

Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает с моста последний вагон. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проезжает расстояние, равное длине поезда. Определим сначала скорость поезда. Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту.

Ответ: 1200 м.

Задача 159.Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?

Паровоз продвинулся за 30 секунд на 750 м. Разделив этот путь на время движения — на 30 секунд, получим скорость.

Ответ: 25 м/сек.

Задача 160.В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший 2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гордеев. Известно, что Андреев с Гордеевым сыграли вничью. Установите результаты остальных пяти партий.

Запишем условия задачи в турнирную таблицу.

Попробуем определить, сколько очков могли набрать участники этого турнира. Каждая партия приносит одно очко играющим: либо это очко получает тот, кто выиграл (а проигравший получает 0), либо это очко делится поровну между участниками встречи, как это произошло в партии Андреева и Гордеева. Итак, всего участники турнира набрали столько очков, сколько произошло партий в этом турнире.

Каждый участник сыграл по три партии, а так как партии игрались в один круг, то всего партий было 6. Это можно понять из рассмотрения таблицы. В ней 12 свободных клеток (по 3 у каждого игрока), и после каждой партии заполняются 2 клетки. Значит, партий 6. Вывод: всего участники набрали 6 очков.

Как же могли распределиться эти очки между ними? Мы можем это понять из условий задачи — из таблицы. Андреев мог набрать не больше З2 очков, так как сыграл вничью с Гордеевым. Гордеев набрал не меньше очка, так как сыграл вничью с Андреевым. Но тогда очки у участников, занявших места между Андреевым и Гордеевым, могут быть от 1 до 3. Минимально это могут быть следующие результаты:

Гордеев — 1\2 очка, Власов — 1 очко, Борисов — 1. 1\2 очка, Андреев — 2 очка. Однако, в этом случае общее число очков равно 5, а должно быть 6. Поэтому нужно распределить между участниками недостающее очко.

Попробуем дать еще пол-очка Гордееву. Тогда у него будет 1 очко, у Власова — не меньше 1. 1\2, у Борисова — не меньше 2, у Андреева — не меньше 2. 1\2 очков. То есть общее число очков будет не меньше 7. Вывод: у Гордеева только 1\2 очка, что можно отметить в турнирной таблице:

Попробуем, оставив 1\2 очка у Гордеева, дать лишние пол-очка Власову. Тогда у него будет 1. 1\2 очка, у Борисова — не меньше 2, у Андреева — не меньше 2. 1\2 очков. То есть общее число очков будет не менее 6. 1\2 очков, что превышает сумму в 6 очков. Вывод: у Гордеева 1\2 очка, у Власова 1 очко.

Попробуем увеличить на пол-очка результат Борисова. Тогда возможно такое распределение результатов: у Гордеева 1\2 очка, у Власова 1 очко, у Борисова 2 очка и у Андреева 2. 1\2 очка. Впрочем, можно не увеличивать число очков у Борисова, а дать лишнее очко Андрееву. Получим: у Гордеева 1\2 очка, у Власова 1 очко, у Борисова 1. 1\2 очка и у Андреева 3 очка. Однако, последний вариант невозможен, так как из ранее заполненной таблицы ясно, что у Борисова не меньше 2 очков. Остается первый вариант:

Тогда автоматически заполняются результаты Борисова и Андреева:

Ответ: Андреев выиграл остальные две партии, Борисов выиграл у Власова и Гордеева, Власов выиграл у Гордеева.

161 - 170

Задача 161.Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, если сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота?

За полный оборот большого колеса через точку сцепления А пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота — 40 · 32 = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает 1280 : 16 оборотов.