Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Бруно Эрнст, изучавший картину Эшера, так описывает последовательность увеличенных изображений неискаженной картины: «Юноша смотрит на гравюры Эшера в галерее искусств, и его взгляд падает на гравюру, очень похожую на гравюру „Сенгела, Мальта“ 1935 года. Юноша внимательно смотрит в верхний правый угол, где можно увидеть часть полуострова Сенгела. Там он замечает строение с навесом, очень похожее на галерею искусств, куда он только что вошел. Если мы уделим пристальное внимание деталям, то увидим, что в галерее представлены работы Эшера, и даже можно увидеть юношу, который рассматривает гравюру с тем же видом Мальты».

Последовательное увеличение неискаженного рисунка.

_{(Источник: «Эффект Дросте и „Галерея гравюр“ Эшера», Бруно Эрнст.)}

На основе математического описания сетки линий и выпрямленного рисунка Ленстра создал компьютерную программу, с помощью которой узнал, что же находится внутри таинственного ореола, и пошел дальше, чем Эшер… до бесконечности. Слепое пятно исчезло, и оказалось, что в центре «исправленной» версии «Галереи гравюр» вся картина повторяется бесконечное число раз. Любопытнее всего то, что сетку линий до самого центра можно было продолжить, даже не располагая исходным изображением внутри спирали.

Увеличенное изображение центральной части полной версии литографии.

_{(Источник: «ЭффектДросте и „Галерея гравюр“ Эшера», Бруно Эрнст.)}

Эшер был прав, когда говорил, что заполнить центральный круг невозможно, так как нужно работать с бесконечно большой точностью. Однако с помощью анимации можно передать всю информацию, которая содержится на картине.

То, как Эшер манипулировал пространством, делая это интуитивно, руководствуясь эстетическими принципами, необычно для мира искусства. Он использовал отражения, растяжения, деформации, проекции и другие аналогичные преобразования, с помощью которых скрывал в своих произведениях новые сложные миры.

Название этого раздела «Вселенная внутри круга» содержит отсылку к шедевру «Галерея гравюр», в центральном круге которого вся картина повторяется снова и снова, закручиваясь в бесконечную спираль. Оно также говорит о группе базовых элементов, которые использовал Эшер для бесконечного замощения центральной круговой области картины.

Фактически все картины Эшера можно разделить на три типа. На картинах первого типа изображены пейзажи и сцены из повседневной жизни, представленные с необычных ракурсов. На картинах второго типа мы видим невозможные фигуры и сооружения. К третьему типу относятся гравюры, на которых вся плоскость или ее часть раскалывается на части.

Покрытие поверхности мозаикой, в основе которой лежит цикличность и различные виды симметрии, создает ощущение бесконечности. Эшер упорно хотел изобразить бесконечность и был недоволен тем, что холст картины ограничивает его в этом. Он искал способ изобразить бесконечность в конечном пространстве и с этой целью начал создавать фигуры, покрытые сетчатым узором из кругов и квадратов.

Он стал рисовать серии повторяющихся фигур, вложенных одна в другую, начиная с края круглого или квадратного холста. По мере приближения к центру фигуры уменьшались в размерах. Тем не менее похоже, что и этим приемом он остался недоволен.

В 1958 г. он ознакомился со статьей британского ученого Гарольда Коксетера под названием Cristal Symmetry and Its Generalizations («Симметрия кристаллов и ее обобщения»), где описывался оригинальный способ укладки плиток, который вдохновил Эшера на новые поиски. Речь шла о разбиении круга на треугольники так, что их число возрастало по мере приближения к краю.

Этим рисунком Коксетер иллюстрировал модель неевклидова метрического пространства, называемого диск Пуанкаре. Диск Пуанкаре является моделью геометрии Лобачевского, в которой через одну точку можно провести несколько прямых, параллельных данной, о чем мы рассказывали в прошлой главе.

Диск Пуанкаре является частью важного ряда моделей геометрии Лобачевского, так как в реальном трехмерном пространстве (на языке математики оно обозначается ) не существует поверхности, на которой бы выполнялись законы этой геометрии[14]. Следовательно, этот раздел геометрии отличается от эллиптической геометрии, прекрасной моделью которой является сфера.

Модель, описанная Пуанкаре, — это круг, метрика которого отличается от метрики евклидовой плоскости. Метрика диска Пуанкаре такова, что все уменьшается в размерах по мере приближения к границе круга[15]. Как следствие, человек, живущий в мире Пуанкаре, никогда не сможет попасть на «край света».