Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

ОБИТАТЕЛИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО МИРА

Понимают ли существа, обитающие в мире Пуанкаре, в каком пространстве они живут? Представим, что один из обитателей этого мира измерил длину свой ладони, которая оказалась равной 20 см. Затем он начинает идти в сторону края круга и спустя некоторое время снова измеряет длину ладони. Для нас его ладонь уменьшится в размерах, а для него длина ладони будет по-прежнему равна 20 см, так как расстояние между делениями линейки тоже уменьшится. Измерения относительны: для нас, сторонних наблюдателей, его ладонь уменьшится в размерах, для жителя этой плоскости ее длина не изменится. Аналогично для нас его мир ограничен, а для него — безграничен, так как он никогда не сможет достичь его края. Как обитатель этого мира может понять, что живет на гиперболической плоскости? Один из возможных способов — найти сумму углов произвольного треугольника, которая будет меньше 180°. Треугольник должен быть достаточно большим, чтобы на результат не повлияла погрешность измерений, так как с увеличением размеров треугольника сумма его углов будет уменьшаться. Еще один способ — провести окружность радиуса r и убедиться, что ее длина превышает 2πr (поэтому плоскость и называется гиперболической). Однако в этом случае радиус окружности также должен быть достаточно большим.

* * *

В серии работ «Предел — круг» Эшер попытался изобразить эту метрику и свойство прямых в гиперболической геометрии, в то же время дав собственную трактовку бесконечности как вселенной в капле воды. Схемы замощения могут отличаться: представленная на рисунке схема, которую использовал в своей работе

Пуанкаре, состоит из семиугольников. Каждая вершина семиугольника является общей еще для двух семиугольников. Особенный интерес представляет картина Зшера «Ангелы и демоны», на которой пятиугольники, в которых все углы «прямые», каждой вершиной соединяются еще с тремя.

Слева — треугольная функция, которую использовал Пуанкаре в работе об эллиптических функциях. Как позднее говорил сам Пуанкаре, в этой работе он применил неевклидову геометрию. Справа — «Ангелы и демоны» Эшера.

О войнах и длине границ

Чешский географ и статистик Яромир Корчак изучал влияние географического местоположения на население. В 1938 г. он провел статистические исследования числа больших островов в разных регионах мира и обнаружил закон, который сыграл ключевую роль в определении понятия размерности в математике. Для данной площади S он вычислил число островов с площадью, большей чем S. Подсчитав по этому правилу число островов N(S) для каждого S, он представил результаты в виде точек на оси координат. Выполнив эти действия для разных регионов, для каждого из них он получил соответствующий график. Он заметил, что эти графики похожи: N обратно пропорционально S в определенной степени, то есть N равно константе k, разделенной на S в степени, которую мы обозначим за D:

N(S) = k/S^D.

Корчак сопоставил каждому региону соответствующее значение D. Впоследствии его результаты были уточнены, и теперь нам известно, что D для Африки (где один большой остров окружен мелкими) равно 0,5; D для Индонезии и Северной Америки (где крупные острова преобладают не столь явно) равно 0,75, а для всей планеты это число равно 0,65.