Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

В прошлом веке многие ученые выявили похожие законы, например для словарного запаса людей или уровня воды в Ниле. Во всех этих законах фигурирует показатель степени, схожий с D. Наиболее значимым из них является закон, открытый Льюисом Фраем Ричардсоном (1881–1953), английским ученым и пацифистом, который первым применил современные математические методы для прогнозирования погоды, а также для изучения причин возникновения войн и их предотвращения. Изучая закономерности возникновения войн, он решил исследовать взаимосвязь вероятности войны между двумя странами и протяженности границы между ними.

Много лет Ричардсон собирал данные о протяженности границ между странами, но результаты его исследований были опубликованы лишь в 1961 г., спустя восемь лет после его смерти. В своей статье он отметил, что разные страны приводят разную длину одних и тех же границ с другими странами (для этого было достаточно обратиться к соответствующим справочникам). Например, в испанских справочниках длина границы между Испанией и Португалией равна 987 км, в португальских — 1214 км. Аналогично в голландских источниках указана длина границы с Бельгией в 380 км, в бельгийских источниках приведена цифра в 449 км.

НАСКОЛЬКО ВЕЛИКА СПИРАЛЬ?

Спирали представляют собой класс объектов, которые ставят под сомнение традиционный способ измерения длины. Спиралями интересовались математики всех времен. Так, Архимед написал трактат о спиралях и открыл особый тип спиралей, который был назван в его честь. Архимедова спираль подобна поперечному сечению свернутого ковра, то есть расстояние между ее витками всегда остается постоянным. Спираль Архимеда описывается следующей формулой: r = qφ, где r — координата точки спирали, которая зависит от угла φ поворота центральной оси против часовой стрелки (в радианах), a q — константа, которая при умножении на 2π дает расстояние между последовательными витками спирали. Еще одним видом спирали является логарифмическая, представленная на рисунке ниже:

Для этой спирали произведение константы q на угол φ дает не r, а логарифм r. Швейцарский математик Якоб Бернулли был настолько впечатлен подобием всей спирали и любой ее части (то есть самоподобием), что повелел написать на своем надгробии такие слова: Eadem Mutata Resurgo, что в переводе означает «измененная, я вновь воскресаю». Точнее говоря, свойство, которым восхищался Бернулли, заключается в том, что сжатие или растяжение этой спирали равносильно ее повороту на определенный угол.