Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Сейчас эта кривая используется для решения задачи коммивояжера, в которой необходимо найти кратчайший маршрут, проходящий через определенные точки плоскости. Одна из возможных стратегий — обойти точки в той же последовательности, которую описывает кривая Серпинского. Для этого необходимо, во-первых, сформировать подобную кривую и нарисовать ее так, чтобы она покрывала все нужные точки маршрута. Если это не удалось, нужно использовать кривую Серпинского следующей итерации. Как только нам удалось построить кривую, которая проходит через все требуемые точки, искомый маршрут найден. Этот алгоритм применяется, например, при расчете маршрутов доставки почтовых посылок. Он также позволяет сократить общее расстояние, которое проходит перо плоттера при отрисовке карт.

* * *

Иными словами, размерность Минковского равна значению выражения log N (ε) / log (1/ε), когда ε стремится к 0.

Эта формула находит свое применение при подсчете клеток. Выполняются практически те же действия, что и при измерении расстояний на карте с помощью циркуля. Дана фигура, размерность которой мы хотим найти. Фигура помещается поверх сетки с шагом ε, который принимает значения 1 мм, 1 см и так далее в зависимости от размеров фигуры. Затем подсчитывается число квадратиков или клеток, которые покрывает фигура. Будем постепенно уменьшать значение и подсчитывать соответствующее число клеток для каждого. Затем, подобно алгоритму Ричардсона, построим график, осями которого будут логарифмические шкалы. На оси абсцисс будем обозначать логарифмы 1/ε, на оси ординат — логарифмы N(ε). Угловой коэффициент прямой, аппроксимирующей точки графика, будет равен D_M. Эта процедура применима к любым прямым, плоскостям и пространствам.

Подсчет клеток привлекает своей простотой, но размерности Минковского не хватает некоторых свойств, желательных с теоретической точки зрения. Немецкий математик Феликс Хаусдорф (1868–1942) из Боннского университета занимался теорией измерений и предложил новое определение размерности. Оно не применяется на практике, но имеет большое теоретическое значение и порой полезно для сравнения размерности некоторых разнородных множеств, которые имеют одинаковую размерность Минковского. В целом размерность Хаусдорфа меньше или равна размерности Минковского.

Кривая дракона

Рассмотрим подробнее последнюю и самую удивительную кривую — так называемую кривую дракона. Впервые она была исследована в 1960 г. тремя физиками NASA — Хайвеем, Бэнксом и Хартером. Она приобрела популярность несколько позднее, когда Мартин Гарднер рассказал о ней в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American. Ввиду того что эту кривую очень просто построить и она обладает удивительными свойствами, ее изучением занялись исследователи из самых разных разделов математики.

Согласно Гарднеру, Хайвей построил эту кривую, сложив пополам полоску бумаги так, как показано на рисунке. Чтобы получить кривую дракона, нужно много раз сложить полоску бумаги в форме буквы «V», а затем развернуть ее так, чтобы все углы в местах сгиба были прямыми.

Первые итерации построения кривой дракона.

_{(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

ДРАКОН ЛЕВИ

Согнуть лист бумаги можно двумя способами: «долиной» и «горкой». При построении кривой дракона лист бумаги всегда сгибается «долиной». Если мы будем сгибать лист обоими способами поочередно, то кривая заметно изменится. Существует 16 способов построения кривой дракона, но лишь пять из них можно назвать основными. Один из них известен под названием кривой Леви. Для построения этой кривой на первом шаге нам понадобится половина квадрата, разрезанного вдоль диагонали.