Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Его использовал еще Архимед для вычисления площади сегмента, ограниченного дугой параболы и ее хордой.

Для создания этих искусственных пейзажей использовался тот же алгоритм, что и при построении графика функции Такаги, но уже в трех измерениях, с некоторыми изменениями и со случайным набором параметров. Генерирование фрактальных пейзажей применяется при съемках многих фильмов.

Некоторые объекты природы, например облака, легче моделируются с помощью фрактальной, а не евклидовой геометрии. Симуляция облаков производится с помощью приема компьютерной графики, который называется плазма. В нем используется коэффициент рассеивания, от которого будет зависеть итоговый результат.

Генетический код растений и других живых существ строится по принципу наименьшего действия. Инструкции, определяющие рост живых организмов, записываются в генетическом коде максимально экономичным образом. Именно поэтому большинство из них обладает свойствами самоподобия и имеет фрактальную структуру.

Изображение объемного множества Мандельброта, полученное с помощью алгоритма, основанного на кривых потенциала. Высота точки определяется числом итераций, после которых орбита этой точки удаляется от начала координат.

Увеличенное изображение объемного множества Мандельброта вблизи вершины большой кардиоиды. Все множество Мандельброта в таком масштабе по размерам будет сопоставимо с орбитой Юпитера. Оно подобно необозримой вселенной, полной замысловатых узоров, в которой обитают слоны, морские коньки, улитки.

Слева направо и сверху вниз представлена последовательность увеличенных изображений множества Мандельброта. Центр каждого изображения примерно совпадает с центром предыдущего.

Множество Мандельброта и множества Жюлиа, соответствующие различным значениям с, использованным при их построении.

Графическое изображение аттрактора Лоренца. Представлена орбита точки в пространстве, движение которой описывают определенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения моделируют поведение потока жидкости и других схожих процессов. Точка вращается вокруг двух центров, перескакивая с одной орбиты на другую бесконечное множество раз. По словам Джеймса Глейка, это великолепное изображение, подобное рисунку оперения совы или крыльев бабочки, стало символом первых исследователей хаоса.

D = log 4²/log З² = (2log 4)/(2log 3) = 1,2629. Для любой итерации это соотношение будет выполняться при D = 1,2629. Это число называется размерностью подобия и обозначается D_S, в отличие от других фрактальных размерностей. Оно вычисляется по следующей формуле:

D_S = log n / log (1/r).

Мы нашли взаимосвязь между коэффициентом уменьшения r (коэффициентом масштаба) и количеством частей n, на которые делится исходный объект.