Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Мы уже определили понятие размерности для любых объектов и увидели, что существуют кривые, подобные кривым Гильберта и Пеано, которые имеют размерность 1, но покрывают область размерностью 2. Возникает необходимость дать понятию размерности другое определение, которое согласовывалось бы с результатами наших наблюдений. Кривая Коха будет идеальным примером, который проиллюстрирует наши рассуждения. Новая размерность, о которой мы поговорим далее, называется фрактальной размерностью. Затем мы продемонстрируем фрактальную размерность для фигур, не обладающих свойством самоподобия.

Понятие самоподобия более подробно обсуждается в следующей главе. Здесь же мы укажем лишь его некоторые основные свойства. Объект обладает самоподобием, если имеет ту же форму, что и его части. Части самоподобного объекта могут быть получены путем преобразований этого объекта, которые называются преобразованиями подобия. Например, если мы возьмем кривую Коха, уменьшим ее в три раза и сделаем три копии новой, уменьшенной кривой, то сможем соединить их так, что получится новая кривая Коха. Мы последовательно расположим копии кривой так, что первая будет располагаться горизонтально, вторая — с поворотом на 60°, третья — с поворотом на —60°, четвертая — вновь горизонтально.

Этим свойством обладают и другие, даже самые простые объекты: например, можно уменьшить отрезок в два раза, соединить между собой две его уменьшенные копии и снова получить исходный отрезок. Нечто подобное можно сделать с квадратом: его можно уменьшить в четыре раза, затем соединить четыре уменьшенные копии и снова получить исходный квадрат. Во всех структурах, обладающих свойством самоподобия, существует взаимосвязь между коэффициентом уменьшения r (коэффициентом масштаба) и количеством частей n, на которые делится исходный объект. Рассмотрим эту взаимосвязь подробнее.

В случае отрезка коэффициент уменьшения r = 1/2, а для восстановления исходного отрезка нужно n = 2 копии. Если коэффициент уменьшения r равен 1/3, то нам понадобится n = 3 копии. Следовательно, во всех случаях n = 1/r. В случае квадрата для коэффициента уменьшения r = 1/2 потребуется n = 4 копии, чтобы восстановить исходный квадрат. Если коэффициент уменьшения r равен 1/3, то нам понадобится n = 9 копий. Во всех случаях будет выполняться соотношение n = 1/г².

Выполнив аналогичные подсчеты для куба, получим, что при коэффициенте уменьшения, равном 1/2, для восстановления исходного квадрата потребуется 8 копий, при коэффициенте уменьшения, равном 1/3, — 27 копий. В обоих случаях справедливо соотношение n = 1/r³. Показатель степени г всегда совпадает с топологической размерностью исходной фигуры.

Однако если мы проведем подобные вычисления для кривой Коха, то получим, что в первой итерации n = 4, r = 1/3. В этом случае взаимосвязь уже не столь очевидна. Руководствуясь результатами, полученными для отрезка и квадрата, предположим, что аналогичное соотношение выполняется и для кривой Коха, следовательно, 4 = 3^D, где D — условная размерность рассматриваемой кривой. Вычислить D очень просто: нужно взять логарифм от обеих частей уравнения. Получим: log 4 = D∙log 3, D = log 4/log 3 = 1,2629. Если мы выполним аналогичные вычисления для второй итерации кривой, получим 16 = 9^D или, что аналогично,

Фотографии Нила, Амазонки и Великих озер, сделанные с самолета. Можно увидеть крайне неравномерную структуру, которая описывается с помощью моделей фрактальной геометрии.

Силуэт большой рыбы, которая съедает маленькую, — аттрактор системы из 11 итерируемых функций. Шесть из них описывают тело рыбы, четыре — хвост, еще одна — силуэт маленькой рыбы. На рисунке приведена третья итерация.

Скульптура, автора которой вдохновил тетраэдр Серпинского. Он строится аналогично треугольнику Серпинского, единственная разница состоит в том, что вместо трех треугольников на плоскости используются четыре тетраэдра в пространстве.

Построение кривой Такаги, или бланманже, из многоугольников. Каждый следующий многоугольник строится на основе предыдущего по алгоритму, известному как «смещение средней точки».