Объективное знание. Эволюционный подход

Есть возможность так определить ложностное содержание некоторого высказывания а(отличное от класса ложных высказываний, следующих из а),чтобы (а) это было содержание (или класс следствий в смысле Тарского), (Ь) оно содержало все ложные высказывания, следующие из а,и (с) оно не содержало бы никаких истинных высказываний. Для этого нужно только релятивизировать понятие содержания, что можно сделать вполне естественным образом.

Будем называть содержание, или класс следствий, высказывания аименем 'А' (так что в общем случае Xесть содержание высказывания х).Будем вместе с Тарским называть содержание логически истинного высказывания именем 'L'. Lесть класс всех логически истинных высказываний: он есть общее содержание всех содержаний и всех высказываний. Мы можем сказать, что Lесть нулевое содержание.

Релятивизируем теперь идею содержания, так чтобы мы могли говорить об относительном содержании высказывания апри данномконтексте Y, и будем обозначать это относительное содержание символом 'a, Y'. Это класс всех высказываний, выводимых из a в присутствии Y, но не из одного Y .

Мы сразу же видим, что если A есть содержание высказывания a, то при релятивизированном способе записи A=a,L;это значит, что абсолютное содержание Aвысказывания aравно относительному содержанию a, если задана «логика» (= нулевое содержание).

Более интересным случаем относительного содержания предположения (conjecture) аявляется случай a, B _t, где B _t— наше фоновое знаниев момент времени t, то есть знание, которое в момент tпринимается без обсуждения. Мы можем сказать, что в новом предположении аинтересным является прежде всего его относительное содержание а, B, то есть та часть содержания а.В ^{17}, которая выходит за пределы В.Точно так же, как содержание логически истинного высказывания равно нулю, так относительное содержание предположения апри данном Вравно нулю, если асодержит только фоновое знание и ничего более. В общем случае мы можем сказать, что если апринадлежит Б, или, что то же самое, если АВ,то а, В =0. Таким образом, относительным содержанием высказывания x, Y является та информация, которой хв присутствии Y превосходит Y.

Теперь мы можем определить ложностное содержание высказывания а, которое мы обозначим А _F,как содержание высказывания апри данном истинностном содержании а (тоесть пересечении А _Tмежду Аи T, где T — система, в смысле Тарского, истинных высказываний). Иначе говоря, мы можем определить:

А _F=а,А _T.

Определенное таким образом А _Fотвечает нашим пожеланиям, или требованиям, адекватности: (a) A _Fесть содержание, пусть даже только относительное содержание; в конце концов, абсолютные содержания — это тоже относительные содержания, если дана логическая истина (или в предположении, что Lлогически истинно); (b) А _Fсодержит все ложныевысказывания, следующие из а, поскольку это дедуктивная система высказываний, которые следуют из а, принимая истинныевысказывания за наш (относительный) ноль;(с) Арне «содержит»никаких истинных высказываний в том смысле, что его истинные высказывания рассматриваются не как содержание, а как его (относительное) нулевое содержание.

Содержания иногда логически сравнимы, а иногда нет; они образуют частично упорядоченную систему — упорядоченную отношением включения, точно так же как высказывания образуют систему, частично упорядоченную отношением следования (entailment). Абсолютныесодержания А и Всравнимы, если А Вили В А.Для относительных содержаний условия сравнимости сложнее.

Если Xесть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание xтакое, что Xесть содержание x.

Таким образом, если Y— финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:

x, Y= x, у.

В этом случае можно видеть, что х, Yравно абсолютному содержанию конъюнкции х.y минусабсолютное содержание y .

Аналогичные соображения показывают, что а, Bи с, Dбудут сравнимы, если

(А + В)- Всравнимо с (С + D) - D,

где есть сложение дедуктивных системпо Тарскому: если обе аксиоматизируемы, А + Dесть содержание конъюнкции а.Ь.

Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» — то есть без противоречия — линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).

Мы можем написать 'p(x, Y)' или

P(X,Y)