Опасная идея Дарвина: Эволюция и смысл жизни

В 1931 году Гёдель, молодой математик из Венского университета, опубликовал свое доказательство, одну из наиболее важных и неожиданных работ в истории математики XX века, наложив на математическое доказательство абсолютное ограничение, что и в самом деле весьма поразительно. Вспомните евклидову геометрию, которую вы изучали в старших классах и узнали, как создавать формальные доказательства геометрических теорем, опираясь на список фундаментальных аксиом и определений, используя ограниченный перечень правил логического вывода. Вы учились использовать аксиоматизируемость планиметрии. Помните, как учительница рисовала на доске геометрический чертеж, изображающий, скажем, треугольник, стороны которого под разными углами пересекали различные прямые линии, и затем спрашивала вас: «Должны ли эти линии пересечься под прямым углом? Является ли тот треугольник равным этому?» Зачастую ответ был очевиден: вы могли видеть, что линии должны пересечься под прямым углом, что треугольники равны. Но совсем иным делом (в действительности, требовавшим известных усилий, прилагаемых не без внешнего побуждения) было формально доказать это, исходя из аксиом и в соответствии со строгими правилами. Глядя, как учительница чертит на доске новый чертеж, задавались ли вы когда-нибудь вопросом, возможны ли в планиметрии такие факты, истинность которых можно видеть, но и за миллион лет невозможно доказать? Или вам казалось очевидным, что, если вы сами неспособны придумать доказательство какого-либо геометрического утверждения, претендующего на истинность, то это – всего лишь знак вашей собственной беспомощности? Возможно, вы думали: «Доказательство должно быть, ибо это – правда, даже если я не могу его отыскать!»

Это – в высшей степени правдоподобная точка зрения, но Гёдель вне всяческих сомнений доказал, что, когда дело доходит до аксиоматизации элементарной арифметики (не планиметрии), есть истины, которые, как «мы можем видеть», истинны, но их истинность совершенно невозможно формально доказать. Строго говоря, это утверждение нужно тщательно ограничить: для любой частной системы аксиом, которая является логически непротиворечивой (а не допускающей некоторые внутренние противоречия – это дисквалифицирующий порок), должно быть арифметическое предложение, ныне известное как предложение Гёделя для этой системы, которое является истинным, но которое внутри системы невозможно доказать. (На самом деле таких истинных предложений должно быть много, но, чтобы тезис был верен, нам нужно лишь одно.) Можно менять системы и доказывать это предложение Гёделя в следующей избранной нами системе аксиом, но если она внутренне непротиворечива, то в свою очередь породит свое собственное предложение Гёделя, и так далее до бесконечности. Невозможна одна-единственная непротиворечивая аксиоматизация арифметики, способная доказать все арифметические истины.

Может показаться, что это не имеет особого значения, поскольку мы редко хотим доказать арифметические факты – если вообще этого хотим; мы просто считаем арифметику чем-то само собой разумеющимся, без всяких доказательств. Но можно разработать системы арифметических аксиом, сходные с евклидовой (например, аксиомы Пеано), и доказать такие элементарные истины, как «2 + 2 = 4», такие очевидные промежуточные истины, как «числа, без остатка делящиеся на 10, также без остатка делятся на 2», и такие неочевидные истины, как «не существует самого большого простого числа». Прежде чем Гёдель разработал свое доказательство, математики и логики повсеместно рассматривали выведение всех математических истин из единственного набора аксиом как великий проект, осуществить который трудно, но возможно; для математиков той эпохи то была высадка на Луну или проект изучения генома человека. Но сделать это совершенно невозможно. Именно это утверждает теорема Гёделя.