От абака к цифровой революции

В XVIII веке было предложено несколько новых выражений для вычисления числа π. Первое из них получил астроном Джон Мэчин (1680–1751). Оно использовалось для вычисления π в течение нескольких веков, в том числе при компьютерных вычислениях. Использовав формулу Грегори, Лейбница и Мадхавы, Мэчин обнаружил, что угол, арктангенс которого равен 1/5, можно выразить так:

α = arctg(1/5) = (1/5) — ((1/5)³)/3 + ((1/5)⁵)/5 — ((1/5)⁷)/7 +…

На основе арктангенса угла (4α — π/4) он составил ряд, позволяющий вычислить число π, в котором используется функция, обратная котангенсу. В отличие от предыдущих, этот ряд сходился быстрее. С его помощью этому английскому математику удалось верно вычислить 100 знаков числа π. Этот ряд соответствовал следующему выражению:

π/4 = 4·arctg(1/5) — arctg(1/239).

Это выражение можно представить в виде следующего ряда:

Леонард Эйлер также внес вклад в исследование рядов, позволяющих вычислить число π. С помощью одной из своих формул ему удалось вычислить 20 знаков π менее чем за полчаса.

* * *

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер прожил большую часть жизни в России и Германии. Он считается ведущим математиком XVIII века и одним из крупнейших математиков всех времен. Он совершил важнейшие открытия в области анализа бесконечно малых и теории графов, а также ввел множество терминов и обозначений современной математики, особенно в области анализа, в частности обозначение функции. Он также совершил важные открытия в механике, гидродинамике, оптике и астрономии. Он был невероятно плодовитым ученым: полное собрание его сочинений насчитывает от 60 до 80 томов.

ЗНАК π

Обозначение числа к греческой буквой пи ввел Леонард Эйлер в своей книге «Введение в анализ бесконечных», изданной в 1748 году. Он использовал первую букву греческого слова periphereia — «окружность». Эйлер ввел и другие популярные обозначения, которые используются в современной математике. Он стал обозначать основание натурального логарифма буквой е, квадратный корень из минус единицы — буквой i, сумму ряда — знаком Σ, конечную разность — знаком Δ.

Логика

В XVIII веке не было совершено значимых открытий в логике, однако нет никаких сомнений, что Кант, который хоть не внес прямого вклада в эту дисциплину, тем не менее способствовал ее дальнейшему развитию. По сути, на основе идей Канта позднее сформировался логический позитивизм, а также аналитическая философия. Позднее Фреге, Гильберт, Рассел и Гёдель внесли огромный вклад в логику.

Немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) заложил фундамент трех основных свойств современной логики: различие между понятием и объектом, первенство высказывания как основной единицы логического анализа и понятие логики как средства изучения структуры логических систем, а не только подтверждения отдельных умозаключений.

Иммануил Кант, преподававший логику и метафизику в университете родного Кёнигсберга, является одним из величайших мыслителей в истории философии. Его работы охватывают множество разнообразных дисциплин, в частности право и эстетику. Особую важность имеют его труды по логике.

* * *