От абака к цифровой революции

Отметку в триллион знаков преодолел Ясумаса Канада и возглавляемая им группа, которая использовала компьютер HITACHI SR8000/MPP. Этот рекорд был установлен в Токио в декабре 2002 года. Для вычисления 1241100000000 знаков потребовалось 600 часов, то есть 25 суток вычислений, что соответствует скорости 574583 знака в секунду. В апреле 2009 года японец Дайсуке Такахаши из университета Цукуба вычислил более 2 триллионов знаков за 29,09 часа. Нынешний рекорд, который составляет почти 2,7 триллиона знаков[2], удерживает французский программист Фабрис Беллар, который использовал обычный персональный компьютер под управлением операционной системы Linux. На выполнение расчетов ему потребовался 131 день.

Большинство этих результатов были получены благодаря открытиям удивительного и загадочного индийского математика Сринивасы Рамануджана (1887–1920). Один из полученных им рядов, опубликованный в 1914 году, дает 8 новых знаков π на каждый член ряда. Этот ряд записывается так:

На основе результатов, полученных Рамануджаном, были найдены ряды, которые сходятся еще быстрее и позволяют получить несколько верных знаков числа π для каждого члена ряда. Братья Джонатан и Питер Борвейн, канадцы шотландского происхождения, открыли ряд, каждый член которого дает 31 новый знак π.

Остальные результаты, среди которых выделяются достижения Ясумасы Канады, получены с помощью формулы Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), в которой устанавливается связь между числом π и средним арифметико-геометрическим. Формула Гаусса записывается следующим образом:

В этой формуле MAG (а, Ь) — это среднее арифметико-геометрическое чисел а и Ь.

Равенства, недавно полученные Дэвидом Бэйли, Питером Борвейном и Саймоном Плуффом, представляют собой наиболее интересные выражения, связанные с числом π. В 1997 году эти исследователи опубликовали ряд формул, которые позволяют вычислить любой знак двоичной записи π без необходимости вычислять предшествующие ему знаки. Эти же формулы, очевидно, можно использовать для расчета знаков π в любой системе счисления по основанию, кратному двум, в частности в шестнадцатеричной системе счисления. Авторы подтвердили корректность своего метода, вычислив миллионный, 10-миллионный, 100-миллионный, миллиардный и 10-миллиардный знаки шестнадцатеричной записи π. В результате были получены следующие шестнадцатеричные числа.

* * *

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

Среднее арифметико-геометрическое определяется на основе двух сходящихся рядов: один из них образован средними арифметическими, другой — средними геометрическими. Напомним выражения для вычисления обеих средних величин:

МА(а, Ь) = (a + b)/2

MG(a, b) = √(a·b).

Первые члены рядов mа и mg определяются так: ma₁ = МА(a, b), mg₁ = MG(а, b). Члены ряда в общем виде определяются так:

ma_n+1 = МА(ma_n, mg_n),

mg_n+1 = МG(ma_n, mg_n)

Эти два ряда сходятся к одному и тому же значению — среднему арифметико-геометрическому MAG(а, Ь).

* * *

Одна из формул, предложенных Бэйли, Борвейном и Плуффом записывается так:

* * *