Открытие без границ. Бесконечность в математике

Ещё одним важным открытием Евдокса стала так называемая аксиома о непрерывности, также известная как лемма Архимеда (сам Архимед писал, что автором этой леммы является Евдокс), которая гласит: «Для данных двух величин, между которыми существует соотношение, можно найти одну из них, превосходящую другую». Важность этой леммы заключается в том, что она позволяет доказать путём доведения до абсурда одно из самых важных утверждений в истории математики, благодаря которому Евдокс и многие другие учёные смогли вычислить площади и объёмы криволинейных фигур. Утверждение Евдокса звучит так: «Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины».

На этом утверждении также основано первое чёткое и непротиворечивое определение предела, данное в XIX веке Карлом Вейерштрассом (1815–1897), которое стало важной вехой в истории математики.

Метод Евдокса для вычисления площадей и объёмов, основанный на этом утверждении, известен как метод исчерпывания. Неудивительно, что многие историки считают основание школы Платона моментом рождения греческой математики, так как Евдокс заложил основы нового раздела математики, который много веков спустя стал называться анализом бесконечно малых.

Метод исчерпывания позволял получить верные доказательства, если его предпосылки были верны (так было в большинстве случаев), но обладал определённым недостатком: с его помощью нельзя было получить новые результаты. Напомним, что в этом методе результат считался истинным и рассматривались возможные способы, которыми можно было прийти к этому результату. Например, было известно, что формулы объёма конуса и пирамиды, доказанные Евдоксом, были получены математиками прошлого, в частности Демокритом, без каких-либо выводов или доказательств.

В настоящее время нам известен метод интегрирования, позволяющий произвести необходимые вычисления по чётко определённому алгоритму. Это означает, что необходимые расчёты может произвести машина. В основе этого метода лежит сформулированная древнегреческими математиками идея, тесно связанная с аппроксимацией площади фигуры с помощью прямоугольников, о чём мы говорили выше (в некотором роде метод исчерпывания схож с современным методом суммирования по Риману).

Этот метод заключается в построении ряда прямоугольников, высота которых не превосходит высоту кривой, иными словами, прямоугольников, нижнее основание которых располагается на оси, а верхнее — под искомой кривой.

Сумма площадей всех прямоугольников, построенных по этому методу, будет очевидно меньше, чем площадь искомой фигуры. С увеличением числа прямоугольников их общая площадь будет всё ближе к значению площади фигуры, ограниченной кривой. Это же построение можно повторить так, чтобы верхние основания прямоугольников находились над кривой.

* * *

ИНТЕГРИРОВАНИЕ «ОТ РУКИ»

Существует простое механическое устройство — интегратор, позволяющий автоматически вычислять площадь, ограниченную плоской непрерывной кривой. Оно напоминает устройства, используемые для измерения расстояний на картах, и состоит из небольшого колеса и счётчика числа оборотов, который указывает расстояние, пройдённое колесом при перемещении по карте, например вдоль автомагистрали. Механический интегратор имеет схожий принцип действия. Если обвести интегратором замкнутую фигуру, ограниченную кривой, по контуру, счётчик укажет площадь этой фигуры. Это устройство используется при проектировании форм и образцов, так как позволяет определить, сколько материала потребуется для изготовления изделий.

* * *

Так мы гарантируем, что сумма площадей прямоугольников будет больше искомой площади. Теперь мы снова можем увеличить число прямоугольников, и сумма их площадей вновь будет приближаться к искомой, на этот раз сверху. Мы получим две последовательности площадей, приближающихся к искомой площади снизу и сверху соответственно. Так в схематичном и упрощённом виде происходит вычисление площадей. Похожий метод используется и для вычисления объёмов.