Откуда мы знаем, что такое точка?

А.А. Локшин, Е.А. Иванова

Откуда мы знаем,

что такое

точка?

Пособие

МОСКВА – 2011

УДК 51

ББК 22.1

Л73

Локшин А.А., Иванова Е.А.

Л73

Откуда мы знаем, что такое точка?: Пособие. – М.: МАКС Пресс, 2011. – 40 с.

ISBN 978-5-317-03565-5

Пособие адресовано школьным учителям, а также студентам педвузов и педагогических колледжей, изучающим математику. Рассмотрены вопросы моделирования при решении текстовых задач, а также избранные авторами темы из комбинаторики, логики, алгебры и геометрии.

УДК 51

ББК 22.1

ISBN 978-5-317-03565-5

© Локшин А.А., Иванова Е.А., 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие4

1. Парадокс математической индукции6

2. Откуда мы знаем, что такое точка?7

3. Текстовые задачи: какой метод предпочесть?9

4. Мысленное моделирование при решении текстовых задач11

5. Усохшие проценты14

6. Правило произведения в комбинаторной задаче о маршрутах16

7. Об одном комбинаторном соотношении21

8. Чему равен нуль-факториал?22

9. Задача о составлении букета24

10. О некоторых трудностях в преподавании логики25

11. Несуществующие объекты и математическая логика27

12. Импликация и время28

13. Коварный куб31

14. Почему деление не дистрибутивно слева?32

15. Обобщенная диаграмма Эйлера33

16. Змей Горыныч и транзитивность35

Литература38

Список обозначений39

ПРЕДИСЛОВИЕ

В брошюре рассмотрены некоторые вопросы из теории множеств, логики, комбинаторики и элементарной геометрии, недостаточно освещенные в имеющейся литературе и представляющие, на взгляд авторов, интерес для студентов пединститутов

(в особенности, для студентов факультетов начальных классов), школьников-старшеклассников и учителей математики.

Авторы

Москва, 2011

1. ПАРАДОКС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Метод математической индукции является, как известно, могучим инструментом, позволяющим доказывать многие математические утверждения, не поддающиеся иным методам. Соль метода в том, что он позволяет, так сказать, «опереться на недоказанное».

В простейшем случае действие метода выглядит так. Пусть имеется некоторое утверждение A(n), зависящее от натурального номера n (n = 1,2,…). Тогда если A(1) истинно и если из истинности A(n) следует истинность A(n+1), то A(n) истинно при всех натуральных n.

Итак, доказывая истинность A(n+1), мы можем опереться на недоказанную истинность A(n) – великолепная возможность, которую не предоставляют никакие другие методы. (Как мы увидим ниже, за этой возможностью скрывается довольно любопытный парадокс.)

Приведенная выше формулировка метода математической индукции может быть кратко записана, с использованием общепринятых математических терминов, в следующем виде:

A(1)

(1)

Здесь формулы над чертой – так называемые посылки, истинность которых мы должны предварительно установить, формула под чертой – вывод, истинность которого обеспечивается истинностью посылок; N обозначает множество натуральных чисел.

Парадокс, однако, заключается в том, что, «применяя математическую индукцию», мы пользуемся не методом (1), а другими соображениями.

Действительно, посмотрим, как фактически проводится доказательство «по индукции». Вначале доказывается справедливость A(1), и пока мы, как будто, действуем в согласии со схемой (1). Однако наш следующий шаг представляет собой мыслительную операцию, в корне отличную от второй строчки в схеме (1). Фактически, мы рассуждаем так:

«Предположим, что A(n) истинно при некотором произвольном n. Докажем, что тогда A(n+1) тоже истинно».

Без слова «некоторый» здесь обойтись невозможно, так как в противном случае наше предположение звучало бы так:

«Предположим, что A(n) истинно при произвольном n», т.е. мы предположили бы то, что требуется доказать! (Без слова «произвольный», очевидно, тоже невозможно обойтись.) В итоге вместо (1) мы пользуемся на самом деле схемой

A (1)

(2)

Заметим, что понятие «некоторый произвольный» не удается выразить с помощью математических кванторов (для любого) и (существует). В сущности, это говорит о несовершенстве (бедности) «общепринятого» математического языка и о том, что так называемая «содержательная» логика, в рамках которой работает большинство математиков, не совпадает с формальной логикой, в которой операция взятия «некоторого произвольного» элемента не предусмотрена.

2. ОТКУДА МЫ ЗНАЕМ, ЧТО ТАКОЕ ТОЧКА?