Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике

В обозначениях Бокса и Дженкинса модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего записывается как АРПСС(p,d,q) или ARIMA (p,d,q), где

p – параметры процесса авторегрессии;

d – порядок разностного оператора;

q – параметры процесса скользящего среднего.

Для рядов с периодической сезонной компонентой применяется модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего с сезонностью, которая в обозначениях Бокса и Дженкинса записывается как АРПСС (p,d,q) (ps,ds,qs), где

ps – сезонная авторегрессия;

ds – сезонный разностный оператор;

qs – сезонное скользящее среднее.

Моделирование нестационарных временных рядов с помощью модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего осуществляется в три этапа:

1) проверка временного ряда на стационарность;

2) идентификация порядка модели и оценивание неизвестных параметров;

3) прогноз.

Применение модели АРПСС предполагает обязательную стационарность исследуемого ряда, поэтому на первом этапе данное предположение проверяется с помощью автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда остатков. Остатки представляют собой разности наблюдаемого временного ряда и значений, вычисленных с помощью модели.

Устранить нестационарность временного ряда можно с помощью метода разностных операторов.

Разностным оператором первого порядка называется замена исходного уровня временного ряда разностями первого порядка:

Разностные операторы первого порядка позволяет исключить линейные тренды.

Разностные операторы второго порядка позволяют исключить параболические тренды.

Сезонные разностные операторы предназначены для исключения 12-ти или 4-х периодичной сезонности:

Если модель содержит и трендовую, и сезонную компоненты, то необходимо применять оба оператора.

На втором этапе необходимо решить, сколько параметров авторегрессии и скользящего среднего должно войти в модель.

В процессе оценивания порядка модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего применяется квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия наблюдения значений ряда по значениям параметров. При этом минимизируется (условная) сумма квадратов остатков модели. Для оценки значимости параметров используется t-статистика Стьюдента. Если значения вычисляемой t-статистики не значимы, соответствующие параметры в большинстве случаев удаляются из модели без ущерба подгонки.

Полученные оценки параметров используются на последнем этапе для того, чтобы вычислить новые значения ряда и построить доверительный интервал для прогноза.

Оценкой точности прогноза, сделанного на основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего является среднеквадратическая ошибка (mean square), вычисляемая по формуле:

Чем меньше данный показатель, тем точнее прогноз.

Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего считается адекватной исходным данным, если остатки модели являются некоррелированными нормально распределёнными случайными величинами.

84. Показатели качества модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего

Основными показателями качества модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего являются критерий Акайка и байесовский критерий Шварца. Данные критерии аналогичны критерию максимума скорректированного множественного коэффициента детерминации R2или минимума дисперсии случайной ошибки модели G2.

Информационный критерий Акайка (Akaike information criterion – AIC) используется для выбора наилучшей модели для временного ряда yt из некоторого множества моделей.

Предположим, что с помощью метода максимального правдоподобия была получена оценка

вектора неизвестных параметров модели . Обозначим через

максимальное значение логарифмической функции правдоподобия эконометрической модели.

Тогда критерий Акайка можно будет представить в виде:

где h – размерность вектора неизвестных параметров модели .

Для линейной или нелинейной модели регрессии, включающей только одно уравнение, критерий Акайка может быть преобразован к виду:

где n – объём выборочной совокупности;

– оценка максимального правдоподобия дисперсии остатков etмодели регрессии.

Оба варианта критерия Акайка дают одинаковый результат, но в первом случае выбирается модель с наибольшим значением критерия, а во втором случае – с наименьшим значением критерия.

Байесовский критерий Шварца (Schwarz Bayesian criterion – SBC) также используется для выбора наилучшей модели временного ряда из некоторого множества моделей.

Байесовский критерий Шварца для временных рядов можно представить в виде:

Байесовский критерий Шварца для моделей регрессии можно представить в виде:

По первому варианту расчёта критерия Байесовского критерий Шварца SBC выбирается та модель, для которой значение SBCt является наибольшим. При втором варианте выбирается та модель, для которой значение SBCG  является наименьшим.