Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике

При проверке качества моделей результаты критериев Акайка и Шварца могут быть различны.

Общий критерий множителей Лагранжа (LM-test) применяется для проверки качества модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего с помощью автокорреляции остатков. С помощью данного критерия можно обнаружить в остатках регрессии автокорреляцию более высоких порядков, чем первый, но при этом необходимо, чтобы выборочная совокупность была достаточно велика.

Предположим, что на основании собранных данных была построена модель регрессии вида:

где t – случайная ошибка модели:

t=1t–1+2t–2+…+pt-p+ut;

– коэффициент автокорреляции порядка (1…);

ut – нормально распределённая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: ut ~N(0,G2).

Данная модель регрессии может в качестве факторных переменных включать лаговые значения зависимой переменной. Поэтому необходимо проверить основную гипотезу H0 о незначимости коэффициентов автокорреляции:

H0:1=2=…=p=0.

Альтернативная гипотеза формулируется как утверждение о значимости коэффициентов автокорреляции:

H1:1/=2/=…/=p/=0.

Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью общего критерия множителей Лагранжа в несколько этапов:

1) оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии вида

рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов;

2) рассчитываются остатки модели регрессии et:

3) определяются оценки модели регрессия вида:

Для данной модели осуществляется проверка значимости коэффициентов i при лаговых значениях остатков. Для этого вычисляется F-статистика, которая распределена по 2 закону распределения с p степенями свободы. Если наблюдаемое значение 2-критерия больше критического значения 2-критерия, т. е.

то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках отвергается. Если наблюдаемое значение 2-критерия меньше критического значения 2-критерия, т. е.

то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

85. Критерий Дикки-Фуллера проверки наличия единичных корней

Проверкой наличия единичных корней называется задача проверки основной гипотезы вида

H0:=0 в модели авторегрессии первого порядка:

yt=a+yt–1+t.

Для данного ряда справедливы следующие предположения:

1) временной ряд yt является стационарным, если выполняется условие – 1‹‹1;

2) временной ряд yt является нестационарным и представляет собой модель со случайным трендом, если выполняется условие =1;

3) временной ряд yt также является нестационарным, если выполняется условие ›0.

Таким образом, гипотеза о стационарности временного ряда yt состоит в проверке основной гипотезы вида H0:=1.

Критерий Дикки-Фуллера используется при проверке гипотезы о наличия единичных корней.

При этом выдвигается основная гипотеза вида H0:=1 для модели авторегрессии первого порядка:

yt=a+yt–1+t.

Однако на следующем этапе оценивается не эта модель авторегрессии, а модель, которая получается после перехода к первым разностям:

yt=yt-1+t,

где =–1.

Проверка основной гипотезы вида H0:=1 для исходной модели авторегрессии первого порядка аналогична проверке гипотезы H0:=0 для полученной модели. Проверка данной гипотезы может осуществляться для трёх типов регрессионных уравнений:

yt=yt-1+t;(1)

yt=а+yt-1+t; (2)

yt=а+yt-1+t+t. (3)

Данные модели регрессии отличаются только наличием членов модели a и t.

Первая модель является моделью случайного тренда, во вторую модель включается свободный член a, являющийся коэффициентом случайного тренда. В третью модель включены и коэффициент случайного тренда, и коэффициент линейного временного тренда t.

Проверка основной гипотезы H0:=0 состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки  и её стандартной ошибки.

Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H0:=0  состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки

и её стандартной ошибки.

Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H0:=0 рассчитывают по формуле:

где

– стандартная ошибка оценки

Однако критическое значение t-критерия в данном случае нельзя определить по таблице распределения Стьюдента. Дикки и Фуллер провели исследования, в результате которых определили критические значения t-критерия для проверки гипотезы H0:=0 в зависимости от вида модели регрессии и объёма выборочной совокупности. Данные статистики обозначаются как – для первой модели регрессии, – для второй модели регрессии, х – для третьей модели регрессии. Они приведены в таблице критических значений статистик Дикки-Фуллера для различных уровней значимости.