Озадачник

Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда число внутренних квадратов – это площадь «обрезанного» прямоугольника, у которого срезали внешние квадраты, расположенные по периметру, и оно равно (a – 2) (b – 2). Число же внешних квадратов – это 2a + 2b – 4. Приравнивая две эти формулы и определяя b через a, получим b = 4 (a – 2)/(a – 4). На первый взгляд, ввиду того, что a может принимать какие угодно значения, у нас и правда бесчисленное множество решений. На деле это не так, потому что решения нас устраивают не абы какие, а только диофантовы (от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, III век н. э.) – т. е. такие, которые выражаются в целых числах (требование, чтобы число квадратов было целым, представляется самоочевидным). А таких решений только два: a = 5, b = 12; a = 6, b = 8. Есть еще симметричные решения, где a и b меняются местами (a = 8, b = 6 и a = 12, b = 5), но это на деле те же самые прямоугольники, просто повернутые на 90°.

48. Ползи, улитка, по склону Фудзи

Улитка за день взбирается по склону Фудзи[4] на 150 м, к ночи засыпает, выпадает роса, и улитка соскальзывает по влажной горе вниз на 100 м. Она начала свой путь 1 июня. Когда улитка доберется до вершины? Высота Фудзи почти 3800 м.

Варианты ответов

1. 7 июля.

2. 13 августа.

3. 15 августа.

Правильный ответ:2

Какой высоты достигает улитка на n-й день? На первый день 150 м (потом сползает на 100 м назад), на второй день 200 м (опять на 100 м вниз), 250 м и т. д. Значит, мы можем записать, на какую высоту взбирается улитка, в виде формулы h[n] = 150 + 50 (n – 1), где n – количество пройденных дней (1 июня – день первый, n = 1). Улитка на вершине, когда h[n] = 3800 (то, что она ночью спустится с вершины вниз, для нас уже неважно), 50n = 3700, n = 74 – улитка покорит Фудзи на 74-й день, который наступит 13 августа.

49. Почем картридж?

Принтер с картриджем стоит 1000 руб., при этом и принтер, и картридж можно купить по отдельности, и принтер в этом случае на 300 руб. дороже картриджа. Сколько стоит картридж?

Варианты ответов

1. 300 руб.

2. 350 руб.

3. 400 руб.

Правильный ответ:2

Из 1000 вычитаем 300 – получаем 700, ровно столько стоят два картриджа. Делим пополам – в ответе 350 руб.

50. Чтобы делилось на 7

Двое играют в такую игру: по очереди слева направо пишут цифры 20-значного числа. Задача первого игрока (он записывает 1-ю, 3-ю, 5-ю и т. д. цифры) – сделать так, чтобы итоговое число не делилось на 7, второго – чтобы, наоборот, делилось. У кого из игроков больше шансов на выигрыш?

Варианты ответов

1. Первый выигрывает в шести случаях из семи.

2. Первый гарантированно выигрывает.

3. Второй гарантированно выигрывает.

Правильный ответ:3

Самое важное в этой игре – последний ход, и его предстоит сделать второму игроку. Перед ним 19 цифр, осталось дописать последнюю цифру, итоговое число будет A × 10 + B, где A – это число, полученное на предпоследнем шаге, B – та самая последняя цифра. Любое число A × 10 можно представить в виде С × 7 + D, где C – целое число, D – остаток от деления A × 10 на 7 (число от 0 до 6). Если в качестве B брать цифру 7 – D, итоговое число будет (C + 1) × 7 и оно заведомо делится на 7, второй игрок всегда выигрывает в этой игре.

51. Где дешевле?

Два узбека, один из Бухары, другой из Самарканда, спорят о ценах.

– У нас все гораздо дешевле, – говорит бухарец. – Вот смотри, килограмм арбузов у нас стоит на 30 сумов меньше, чем у вас килограмм фиников.

– Ага, а зато у вас, – спорит самаркандец, – килограмм фиников на 60 сумов дороже, чем килограмм арбузов на рынке Самарканда!

Где же в действительности ниже цены, если на каждом рынке финики стоят вдвое дороже арбузов?

Варианты ответов

1. Цены в обоих городах одинаковы.

2. В Бухаре дешевле.

3. В Самарканде дешевле.

Правильный ответ:3

Простая арифметическая задачка, но ответ на нее совсем неочевиден, чтобы суметь ответить с ходу, не решая. Итак, пусть x – цена арбузов в Бухаре, y – в Самарканде (финики в Бухаре и Самарканде стоят 2x и 2y соответственно). Тогда у нас два уравнения: x + 30 = 2y, 2x – 60 = y, решая их, получаем x = 50, y = 40, в Самарканде, выходит, все на 20 % дешевле, чем в Бухаре.

52. Случай с толстым Бо

Класс в полном составе отправляется на пейнтбол. Среди учеников особо выделяется Боря, которого все зовут Толстым Бо, он и правда не по годам широк.

– Бо, а ты же превосходная мишень! Вот в кого удобнее всего будет целиться, ты уж не обижайся, старик!

На полигоне всем раздали оружие и по четыре заряда к нему. После игры ребята, полностью расстреляв боекомплекты, подсчитывают «раны», и вот что выясняется: у трети класса (не считая Бо) по одному ранению, у другой трети – по два, и еще у трети – по три. Ну а на бедном Бо насчитали… 46 попаданий!

Вопрос: сколько учеников в классе Толстого Бо?

Варианты ответов

1. 17.

2. 22.

3. 25.