Озадачник

Правильный ответ:2

x – искомое число учеников, посчитаем их «раны»: 1 × (x – 1)/3 + 2 × (x – 1)/3 + 3 × (x – 1)/3 + 46, и созданы они были теми зарядами, что ребята друг в друга выпустили, общим числом 4x. Таким образом, уравнение на x будет: 2x – 2 + 46 = 4x, x = 22.

53. Какое меньше?

Числа A, B, C и D связаны соотношениями: A – 3 = B + 8 = С – 5 = D. Какое из чисел является наименьшим?

Варианты ответов

1. B.

2. C.

3. D.

Правильный ответ:1

Сравним все числа с D: A больше D на 3, C больше D на 5, а B меньше D на 8. Значит, B меньше и D, и A, и C, т. е. меньше всех.

54. Разноцветные шары

В коробке лежат 5 белых, 8 красных и 13 черных шаров. Какое минимальное число шаров нужно вытащить (вслепую, их цвет в момент выбора нам неизвестен), чтобы там было по меньшей мере два шара одного цвета?

Варианты ответов

1. Четыре.

2. Шесть.

3. Девять.

Правильный ответ:1

Если нам очень повезет, сразу два первых шара будут одного цвета (скорее всего, черного). В самом же худшем случае три первых шара будут разного цвета: белый, красный, черный. Но четвертый шар будет либо белый, либо красный, либо черный, иного не дано. Значит, вытащив четыре шара, мы гарантированно имеем два одного цвета.

55. Сколько в коробке?

Размеры коробки для кубиков – 40 × 30 × 10 см. Сколько кубиков в коробке?

Варианты ответов

1. 24.

2. 48.

3. 96.

Правильный ответ:3

Очередная диофантова задача (см. задачу № 47). Мы предполагаем, что кубики плотно заполняют коробку, т. е. занимают весь ее объем. Что ж, посчитаем размер кубика для варианта 1. Объем кубика будет равен 12 000 куб. см (объем коробки) разделить на 24 (количество кубиков), что дает 500 куб. см. Длина ребра кубика суть корень кубический из этого числа, не выражается в рациональных числах и приближенно равна 7,93 см. Очевидно, кубики с таким ребром плотно в нашу коробку не вместить, ведь ни 20, ни 30, ни 40 на 7,93 нацело не делятся. Аналогично с вариантом 2 (48 кубиков), объем кубика получается 250 куб. см, длина ребра – 6,3 см. А вот когда кубиков 96, то объем каждого – 125 куб. см, а значит, длина ребра 5 см, и такие кубики спокойно уместятся в нашей коробке, по восемь кубиков в длину, шесть в ширину и два в высоту.

56. Москва резиновая

Ситуация с пропускной способностью метро – тупиковая: интервал между поездами уменьшить нельзя (тогда они начнут догонять друг друга в тоннелях), длина состава ограничена длиной платформы – все, потолок, увеличить пассажиропоток решительно невозможно! Но тут в мэрии предлагают неожиданное решение: сцеплять поезда друг с другом (k = 2, 3, 4 состава вместе), чтобы такой суперпоезд останавливался на каждой платформе k раз, для посадки и высадки пассажиров из каждой из своих частей. Мол, время простоя на станции несколько увеличится, зато пассажиров такой поезд в k раз больше сможет взять за один рейс! Интересное решение, но будет ли от него толк?

Варианты ответов

1. Разумеется, да, отличное решение!

2. Смотря для кого: для метрополитена в целом да, для пассажиров – нет.

3. Вот же глупость какая!

Правильный ответ:2

У нас есть четыре параметра: вместимость состава (обозначим Q) и три времени – среднее время в пути между двумя станциями (t_{тоннель}), время на посадку-высадку пассажиров (t_{посадка}) и время сдвига поезда на платформе (t_сдвиг) – то, за которое суперпоезд переместится на длину одного состава обычного поезда. При этом пассажиропоток (P) определяется как P = kQ/t, где t – полное время, t = t_{тоннель} + kt_{посадка} + (k – 1)t_сдвиг (где k раз совершили посадку-высадку и k – 1 раз сдвинули состав). Перепишем в более компактной форме: t = t₀ + (k – 1) × τ, t₀ = t_{тоннель} + t_{посадка} (стандартное полное время для обычного поезда), τ = t_{посадка} + t_сдвиг – «добавка» за счет удлинения. Что можно сказать о пассажиропотоке? Если k очень большое (k >> 1), то, как нетрудно заметить, P → P₀t₀/τ, где P₀ = Q/t₀ – пассажиропоток обычного поезда. Если t₀ < τ, то задача теряет смысл – суперпоезд будет возить меньше пассажиров, чем обычный. Но возьмем реалистичные значения, скажем, t₀ = 3 мин, τ = 1 мин. Тогда пассажиропоток мы можем, в пределе, утроить (если возьмем очень большое число составов k). Впрочем, уже при k = 4 пассажиропоток возрастет вдвое! Правда, и время в пути возрастет также вдвое (за счет долгого стояния на станциях). Ехать придется долго – зато свободно.

57. Такие шахматы

[5]

У вас есть шахматная доска и 32 костяшки домино, причем размер костяшки – аккурат две клетки доски. Таким образом, вы без труда и большим числом способов сможете закрыть шахматную доску фишками домино. Срезаем по одной клетке в углах доски на концах одной из диагоналей – удастся ли 31 костяшкой закрыть все клетки такой доски?

Варианты ответов

1. Нет, это невозможно.

2. Да, одним-единственным способом.