Озадачник

Два самурая вышли одновременно – один направился из Токио в Киото, другой в обратном направлении, из Киото в Токио. Они встретились в 12:00, поклонились друг другу, как того требует кодекс самураев, и пошли дальше. Первый пришел в Токио в 16:00, второй в Киото в 21:00. В котором часу они начали свой путь? (Предполагаем, что дорога между Токио и Киото одна, а шли они все время с постоянной скоростью.)

Варианты ответов

1. В 4:00.

2. В 6:00.

3. В 8:00.

Правильный ответ:2

На первый взгляд, у нас слишком много неизвестных и слишком мало уравнений. Нам неизвестны: скорость первого самурая v₁, скорость второго v₂, расстояние от Токио до Киото L, а еще то, что требуется установить, – время, когда они отправились в путь t. А какие нам известны соотношения, связывающие их? L = v₁ × (16 – t) = v₂ × (21 – t). И еще мы знаем, что в момент, когда они встретились (12:00), общее пройденное ими расстояние также равнялось L: L = (v₁ + v₂) × (12 – t). Как видим, L из этих соотношений мы легко можем исключить, и тогда у нас останется только два уравнения с тремя неизвестными v₁, v₂, t. То, что неизвестных больше, чем уравнений, показывает, что все их определить мы не сможем, найти скорости самураев не представляется возможным, но это и не требуется, ищем время t. Избавляемся от скоростей, переходя к их отношению v₁/v₂ и замечая, что из наших уравнений вытекает: это отношение равно (21 – t) ∕ (16 – t). В конечном итоге у нас получается квадратное уравнение t² – 24t + 108 = 0, которое элементарно решается и дает два корня t = 12 ± 6 = 6; 18. Очевидно, нам подходит только первое решение в силу простого соображения: они не могли стартовать позже, чем финишировал первый самурай (а это случилось, напомним, в 16:00).

62. Сколько накачал?

Семену подарили новый смартфон, и он закачал туда сразу до полутораста игр (определенно, никак не меньше ста). 80 % игр бесплатные, 1/9 – условно платные (freemium, за саму игру платить не надо, но за «апгрейды» – новые уровни, артефакты и проч. – придется), остальные платные. Сколько платных игр скачал Семен?

Варианты ответов

1. 12.

2. 15.

3. 35.

Правильный ответ:1

Сначала нужно определить, сколько всего игр скачал Семен. Многим покажется, что любой ответ в диапазоне от 100 до 150 подходит. Так, да не так, потому что есть еще два условия: и 4/5 (80 %), и 1/9 от всех игр должны быть целыми числами (а и правда, не мог же Семен скачать дробное число бесплатных или freemium игр). По сути, перед нами еще один пример диофантовой задачи (см. задачи № 47 и 55). Значит, общее число игр должно быть кратно 5 и 9, единственное число в диапазоне 100–150, удовлетворяющее этому условию, – это 135. Бесплатных игр из них 108, freemium 15, оставшиеся 12 игр – платные.

63. На катке

Фигурист выступает на катке, в судейской бригаде пятеро судей. По итогам выступления ему присуждают средний балл 5,8, но затем происходит скандал, одного из судей решают удалить с соревнований, в результате средний балл фигуриста снижается до 5,6. Сколько ему поставил удаленный судья?

Варианты ответов

1. Невозможно определить, не хватает данных.

2. 6.0.

3. 6.6.

Правильный ответ:3

Запишем оценку каждого судьи в виде: 5,8 + xi (i = 1, 2, 3, 4, 5). Очевидно, что сумма x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 0 из самого определения среднего балла: средний балл – это сумма оценок, деленная на количество судей, мы получаем 5,8 × 5/5 + (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅)/5 = 5,8, сократив в обеих частях уравнения 5,8, получим искомое равенство. Его можно переписать в виде (считаем, что удаленный судья – пятый по счету): x₅ = –(x₁ + x₂ + x₃ + x₄). Мы знаем, что после удаления пятого судьи средний бал снизился до 5,6, запишем это математически: 5,8 × 4/4 + (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)/4 = 5,6, откуда после простейших преобразований следует: x₁ + x₂ + x₃ + x₄= –0,8. Теперь уже элементарно найти оценку, данную пятым судьей: это 5,8 + x₅ = 5,8 – (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) = 6,6. Также несложно теперь и ответить на вопрос, в чем заключался скандал и почему пятого судью удалили: дело в том, что максимальная оценка в фигурном катании составляет 6 баллов. Если судья ставит больше, то, значит, что-то с ним не то.

64. Про конфеты

У Алеши А конфет, у Бори Б, у Вити В и у Гаврилы Г. Известны лишь произведения: А × Б = 6, Б × В = 12, В × Г = 24. Сколько конфет у Гаврилы, если известно, что у Бори их больше, чем у Вити?

Варианты ответов

1. 4.

2. 6.

3. 12.

Правильный ответ:2