Озадачник

Давайте разберем все возможные исходы подбрасывания двух монет. Каждая может выпасть либо орлом (О), либо решкой (Р), соответственно, для двух монет возможны следующие результаты: ОО, ОР, РО, РР. Эти четыре события считаем равновероятными (не спрашивайте почему – это аксиома, разумное предположение, на котором построена вся теория вероятностей), т. е. вероятность одного события равна 25 % (суммарная вероятность всех событий 4 × 25 % = 100 %, а это значит, что какое-то из четырех событий обязательно да наступит). Выпадение орла на обеих монетах, равно как и решки, наступает с вероятностью 25 % каждое. Значит, какое-то одно из этих событий наступит с вероятностью 25 + 25 = 50 %. Возможно, поэтому возникает иллюзия, что угадать орлов или решек на двух монетах так же легко, как и на одной, но это только иллюзия: вы же будете угадывать не «орел или решка на обеих монетах», а что-то одно – либо дважды орел, либо дважды решка, и вероятность каждого из этих двух событий только 25 %.

75. Почем арбузы?

Арбуз стоит 3 руб. и пол-арбуза, сколько стоит арбуз?

Варианты ответов

1. 4,5 руб.

2. 6 руб.

3. 9 руб.

Правильный ответ:2

Это любимая задача великого русского математика В. И. Арнольда[6]. Поразительно, что большинство людей с ходу решают ее неверно, отвечая «четыре с половиной рубля», а после совершенно не в силах объяснить свое решение. Которое, конечно же, элементарно. АРБУЗ = 3 + 1/2 АРБУЗ (АРБУЗ – цена арбуза). Упрощая, получаем 1/2 АРБУЗ = 3, отсюда сразу же АРБУЗ = 6, шесть рублей и ни копейкой меньше.

76. Карточная башня

[7]

Представьте, что вы попали на карточную фабрику – такую, где производят игральные карты. В пересменок никого нет, и можно немного пошалить. Вы начинаете выкладывать друг на друга карты (которых в вашем распоряжении бесчисленное множество), причем таким образом, что каждая следующая карта максимально нависает над предыдущей, еще чуть-чуть, и сорвется. Какой может быть максимальная длина (не высота! Речь именно о горизонтальных размерах) такой башни?

Варианты ответов

1. Длина двух карт.

2. Длина π (π = 3,1428…) карт.

3. Ничем не ограничена!

Правильный ответ:3

Вся штука вот в чем: чтобы башня не падала, необходимо, чтобы ее центр масс всегда был в устойчивом положении. Когда кладем вторую карту (на первую), она устойчива, если высовывается наружу не далее чем на половину длины. Далее показывается, что третья карта должна высовываться не больше чем на треть, четвертая – на четверть и т. д. Складывая все эти длины, получим горизонтальный размер башни: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… – а это есть не что иное, как знаменитый гармонический ряд, и сумма этого ряда есть бесконечность! Правда, бесконечность довольно вялая – сумма гармонического ряда растет логарифмически, а ничего медленнее логарифма в природе не существует. Это такая функция-черепаха: возьмите логарифм по основанию 2 от числа 16, log₂16 = 4, а от умопомрачительного 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 («миллион триллион триллионов») такой логарифм равен… всего лишь 100! Но тем не менее логарифм неограниченно растет.

77. Сколько вешать в граммах?

Почему цены на все жидкости (воду, сок, бензин и т. д.) указывают в пересчете на объем (рублей за литр) и только на мед в пересчете на вес («за килограмм»)?

Варианты ответов

1. Потому что мед тяжелее.

2. Такова традиция.

3. Да не такая уж мед и жидкость, глянешь на засахаренный – он скорее твердый.

Правильный ответ:1

Любопытно, что большинство жидкостей, известных нам в быту, имеют примерно одинаковую плотность, близкую к плотности воды (1 кг/л). В том, что такую плотность имеют сок, молоко и газировка, нет ничего удивительного – все же они по большей части из воды и состоят. Но также и спирт, и бензин, и керосин, и всяческие денатураты – все близки по плотности к той же воде. Поэтому-то у многих людей в голове держится нелепое равенство «килограмм равен литру», притом что это вообще разные единицы измерения. Но вернемся к нашему меду – он-то как раз выделяется из этого ряда тем, что существенно, почти в 1,5 раза, тяжелее. И если выставить на него ценник «за литр», то цена меда будет в 1,5 раза выше, чем «за килограмм», раз в одном литре его полтора килограмма. Ну вот и представьте, стоят два торговца, у одного объявление «600 руб./л», у второго «400 руб./кг», вы к какому пойдете? Бьюсь об заклад, что ко второму. Даже понимая, что это на деле одна и та же цена.

78. Тут у вас ошибочка!

На занятии по алгебре профессор выписывает различные выражения, среди которых странное равенство «100 + 100 = 1000».

– Профессор, тут у вас ошибочка, так не бывает! – кричат ему из зала.

Профессор возвращается к равенству, перепроверяет – нет, говорит, здесь все верно.

Как такое может быть? Профессор бредит или у равенства и правда есть какой-то смысл?

Варианты ответов

1. Переутомился профессор, увы.

2. Очевидно, это тождество «8 = 8».