Озадачник

3. Подобное равенство возможно в случае комплексных чисел, профессор просто пропустил мнимую единицу.

Правильный ответ:2

Все мы настолько привыкли к десятичной системе счета (когда любое число, например 234, означает 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1), что обычно даже не задумываемся о том, что существуют какие-то еще. А они существуют, причем их сколько угодно: в качестве основания для счета можно же брать любое целое число! Правда, если это число больше десяти, то вам уже не хватит привычных десяти цифр, придется добавлять новые. Так, у компьютерщиков в ходу шестнадцатеричная (hexadecimal) система, в которой «цифры» с 10 по 15 заменены буквами ABCDEF, к примеру число FF = 15 × 16 + 15 = 255. Те же компьютерщики широко используют и двоичную систему, и нетрудно проверить, что в двоичной системе наше равенство действительно выполняется: 100 на наши деньги (т. е. в десятичной системе) – это 4, 4 + 4 = 8, переводим 8 (это 2 в кубе) обратно в двоичную систему – получаем 1000. Ну и осталось сказать, что ни в какой другой системе, кроме двоичной, это равенство выполняться не будет. Возьмем, например, систему счета по основанию 3, там 100 – это 9 в десятичной системе, 9 + 9 = 18, и, переводя обратно, получаем… 200! Несложно показать, что вообще во всех системах 100 + 100 = 200. Во всех, кроме двоичной, – потому хотя бы, что в ней вовсе не используется цифра 2, все числа записываются нулями и единицами.

79. За какое время?

Пять асфальтобетоноукладчиков укладывают 5 га асфальтобетона за 5 ч. За какое время 25 асфальтобетоноукладчиков уложат 25 га асфальтобетона?

Варианты ответов

1. За 1 ч.

2. За 5 ч.

3. За 25 ч.

Правильный ответ:2

75 % людей дают к этой задаче неправильный ответ – 25 ч. Видимо, они руководствуются таким житейским рассуждением: раз в первом случае всего по пять (асфальтобетоноукладчиков, гектаров и часов), то во втором должно быть по 25. Житейские рассуждения полезно поверять математикой: мысленно разделим наши 25 га на пять крупных участков (по 5 га каждый), отрядим на каждый по пять асфальтобетоноукладчиков и тем самым на каждом участке сведем второй случай к первому. Там, как мы знаем, асфальтобетон укладывают за 5 ч, а поскольку на всех участках работать можно одновременно (раз в условии не оговорено иное), то это и будет ответ нашей задачи.

80. Сколькими способами?

Сколькими способами можно разбить число 64 на сумму 10 различных слагаемых, которые все являются натуральными числами и при этом максимальное из них равно 12? (Порядок следования слагаемых в сумме не имеет значения.)

Варианты ответов

1. Такого способа не существует.

2. Единственным способом.

3. Четырьмя способами.

Правильный ответ:3

Поскольку порядок слагаемых в сумме по условию не играет роли, мы можем расположить их в порядке возрастания: 64 = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j и при этом a < b < c < d < e < f < g < h < i < j = 12. Поскольку j всегда равно 12, мы можем переписать равенство в виде 52 = a + b + c + d + e + f + g + h + i. Вообще, заметим, что для натуральных a, b, c… меньших 12 сумма a + b + c + d + e + f + g + h + i принимает значения от 45 (для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) до 63 (для ряда 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), так что есть основания надеяться, что для каких-то значений будет получаться и сумма 52. Действительно, это будет происходить для следующих наборов: {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}, {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11} и {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11} – и только в этих четырех случаях.

81. Максимальный выигрыш

Вы купили три лотерейных билета. Последовательно открываете билеты и смотрите размер выигрыша, по правилам лотереи вам вручат только тот приз, который указан на последнем открытом билете. Как обеспечить себе максимальный возможный выигрыш?

Варианты ответов

1. Открыть первый билет, если размер выигрыша вас устраивает, больше билетов не открывать.

2. Открыть первый билет, затем второй, если выигрыш на втором больше, чем на первом, останавливайтесь на этом билете, в противном случае переходите к третьему.

3. Никак, любой билет дает максимальный выигрыш с одинаковой вероятностью 1/3.

Правильный ответ:2