Озадачник

Чтобы решить эту задачку, нужно помнить две вещи. Первое: извлечь корень n-й степени – то же самое, что возвести в степень 1/n, √n(a) = a^1/n, в нашем случае нужно отыскать значение e в степени 1/100 = 0,01. Второе: при малых значениях аргумента функция e^x (экспоненциальная функция, фундаментальная в математике – встречается без малого везде) может быть приближенно записана совсем просто: e^x ≈ 1 + x. Значит, искомое значение составит 1 + 0,01 = 1,01. Сравним с более точным (до 10-го знака) значением – это 1,010050167, великолепное совпадение! Приближенные методы, вообще, бывают довольно точны (главное контролировать эту точность). Скажем, корень десятой степени из e равен 1,105170918, а вычисленный по нашей приближенной формуле – 1,1, разница в полпроцента. Правда, если мы посчитаем e¹ (равно e, если считать точно, и 2 по нашей формуле), то разница будет уже ощутимой, что объяснимо: для таких больших значений x наше приближение уже плохо работает, увы. Но его можно продолжать уточнять, почитайте, если интересно, про разложение экспоненты в ряд Тейлора, вы узнаете, что при любом (sic!) значении x, даже при миллионе или миллиарде, можно приближенно записать эту функцию полиномом (степенной функцией) с желаемой точностью!

86. Считаем в уме III

В уме возвести 2 в 18-ю степень. Это:

Варианты ответов

1. 256 256.

2. 258 724.

3. 262 144.

Правильный ответ:3

Любой программист (а нынче и простой пользователь электронных гаджетов, который, например, изучал надписи на карте памяти и узнал, что 1 Гб – это вовсе не 1000 Мб, а 1024) знает, сколько будет 2¹⁰ – чуть больше тысячи, точнее, те самые 1024. А 2²⁰ – соответственно 1024 × 1024. Но как это поможет вычислить 2¹⁸? Очень просто: 2¹⁸ = 2²⁰ ∕ 2² = 1024 × 1024 ∕ 2 × 2 = 512 × 512. А это уже совсем просто посчитать, вспомнив, что (a + b) × (a + b) = a² + 2ab + b² (сравните с задачей № 41). Применительно к нашему примеру (500 + 12) × (500 + 12) = 500² + 2 × 12 × 500 + 12² = 250 000 + 12 000 + 144 = 262 144.

87. Считаем в уме IV

Что больше – десять в пятой степени или пять в десятой?

Варианты ответов

1. 10⁵ > 5¹⁰.

2. 5¹⁰ > 10⁵.

3. Возможно, они равны?

Правильный ответ:2

Сколько будет 10⁵, мы, конечно же, знаем – это единица с пятью нулями, 100 000. А 5¹⁰? На самом деле, вооружившись знаниями из предыдущего примера (№ 43), мы тоже легко можем посчитать, хотя бы приблизительно. Заметив, что 5 = 10/2, возведем последнюю дробь в десятую степень, помня правило возведения дроби в степень (числитель и знаменатель можно возводить в нее порознь), получим 10¹⁰/2¹⁰, а поскольку 2¹⁰, как мы теперь уже знаем, это примерно 1000, т. е. 10³, получаем 5¹⁰ ≈ 10¹⁰/10³ = 10⁷ = 10 000 000. Значит, пять в десятой степени почти в 100 раз больше, чем десять в пятой! Интересно решить более общую задачу: если m > n, всегда ли, как в этом случае, n^m больше, чем mⁿ? Оказывается, если и m, и n больше двойки (3, 4, 5 и т. д.), то да, всегда. А вот когда n = 2, есть два интересных случая: когда m = 3, 2³ (8) меньше, чем 3² (9), а когда m = 4, то 2⁴ и 4² и вовсе равны (это 16). Если же m равно 5, 6 и т. д., мы снова возвращаемся к общему правилу 2^m > m².

88. Братья и сестры

У Саши сестер на двое больше, чем братьев. На сколько у Сашиных родителей больше дочерей, чем сыновей?

Варианты ответов

1. На одну.

2. На три.

3. Невозможно определить.

Правильный ответ:3

Предположим для простоты, что у Саши две сестры и вовсе нет братьев. Тогда дочерей у Сашиных родителей на три больше, чем сыновей, если Саша девочка, и на одну, если он мальчик. Поскольку Саша – имя универсальное, может быть как мужским, так и женским, пол Саши определить не представляется возможным, как и ответить на поставленный в задаче вопрос.

Физика

89. Льдина в бассейне

В бассейне плавает глыба льда. Через некоторое время она тает. Что случилось с уровнем воды в бассейне?

Варианты ответов

1. Повысился.

2. Понизился.

3. Остался неизменным.

Правильный ответ:3

Уровень воды, разумеется, не изменится, и это очень легко объяснить наглядно. Поместим льдину в бесконечно легкую кастрюлю и пустим плавать в нашем бассейне. Льдина растаяла, но, так как масса содержимого кастрюли не изменилась, не изменился и уровень воды в бассейне. При этом, очевидно, уровень воды внутри (после таяния льда) и снаружи кастрюли (раз она не имеет массы) обязаны совпадать. Мысленно удаляем нашу воображаемую кастрюлю – вуаля, наше предположение доказано. Привет сторонникам теории глобального потепления.

90. Без весла

Посреди озера в штиль рыбак умудрился сломать весло. Рыбак подумал, что сможет плыть и без весла, если будет действовать следующим образом: бегом бежать от кормы к носу лодки и медленным шагом возвращаться обратно. Прав ли рыбак и в какую сторону он в таком случае поплывет?

Варианты ответов