Парадигма. Т. 1: Парадигма Науки Изначально Вышестоящего Отца

И только квадрат 8x8 преодолевает 256-ричность явления – константа Генезиса в таком случае становится равной 260.

Приведем таблицу соответствия констант Генезиса порядкам квадратов для нескольких первых значений n

Существуют особый класс квадратов Генезиса, обладающий рядом удивительных свойств. Для его описания необходимо ввести понятие ломаных диагоналей. Обычные диагонали в числовом квадрате называют главными. Ломаные диагонали можно определить как диагонали, полученные при свертывании квадрата в тор. Их легко увидеть при «удвоенном» написании квадрата, когда справа к исходному квадрату приписывается аналогичный квадрат

Параллельно одной главной диагонали 16–10–7–1 идут еще четыре ломаных – ровно столько же, сколько параллельно другой главной диагонали 4–6–11–13. Правда, при такой интерпретации диагонали совсем не выглядят как ломаные.

Квадраты Генезиса, о которых идет речь, обладают тем свойством, что сумма чисел по всем возможным диагоналям (не только главным, но и по всем ломаным) равна одному и тому же числу. Меняя устоявшуюся традицию, договоримся называть такие квадраты сверхдиагональными. Известно, что сверхдиагональные квадраты существуют только для нечетных значений n и для порядка n двойной четности, то есть, n = 4k.

Среди сверхдиагональных квадратов Генезиса выделяют еще более совершенные объекты. Их так и называют – Совершенные квадраты. Совершенные квадраты возможны только для случая n = 4k, то есть, совершенными могут быть только квадраты четвертого, восьмого, двенадцатого и так далее порядка. Совершенным квадратом Генезиса называется сверхдиагональный квадрат, обладающий совокупностью свойств, связанных с различными комбинациями элементов квадрата.

Не останавливаясь подробно на всех свойствах (на данный момент известно 9 таких свойств), рассмотрим один из совершенных квадратов Генезиса четвертого порядка, на примере которого обсудим некоторые свойства совершенного квадрата:

Если посчитать сумму чисел в любом квадрате 2x2, входящем в Квадрат Генезиса, то окажется, что она равна 34, что совпадает с Константой Генезиса K₄

Сумма чисел по углам квадрата тоже равна K₄, а именно, 1+12+13+8 = 34.

Если внутри квадрата выделить квадраты размерами 3x3, то сумма чисел, расположенных по углам квадрата 3x3 тоже равна константе Генезиса. Например,

1 + 7 + 16 +10 = 14 + 12 + 3 + 5 =15+ 9 + 2 + 8 = 34.

Существуют также более «затейливые» свойства, типа равенства суммы квадратов чисел первой и третей строки (столбца):

1² + 14² + 7² + 12² = 10² + 5² + 16² + 3².

Каждый элемент квадрата Генезиса называется клеткой. Клеткам квадрата ставятся в соответствие пары целых чисел (х, у), называемых координатами, где х – номер вертикального ряда, у – номер горизонтального ряда, на пересечении которых находится данная клетка. При этом горизонтальные ряды нумеруются слева направо, а вертикальные – снизу вверх, а для нумерации рядов используются числа 0,1,2, …, n – 1.

Таким образом, для квадрата третьего порядка имеет место следующая нумерация клеток

Данное представление позволяет определить некую экстраполяцию квадрата Генезиса на всю плоскость – можно продолжить разбиение на клетки всей плоскости, вводя координаты (х, у). В данном случае, х и у будут принимать уже любые целочисленные значения. С одной стороны, такая процедура важна для реализации некоторых алгоритмов построения квадратов Генезиса, с другой стороны – это модель, закладывающая перспективы возможности роста квадратов Генезиса.

Интересным может оказаться вариант матричных интерпретаций квадратов Генезиса. Если задаться вопросом о нахождении собственных чисел матриц, соответствующих квадратам, то константа Генезиса снова дает о себе знать и в этом рассмотрении. Рассмотрим матрицу

Задача о нахождении собственных чисел приводит к характеристическому уравнению •(–3₄)(²–4•34)=0. Очевидно, что одно из собственных чисел совпадает с константой K₄.

Для другого квадрата Генезиса четвертого порядка с матрицей

набор собственных чисел иной – он включает только рациональные числа: 0, 8, –8, 34. Тем не менее, числа 34 и 0 присутствуют в данном наборе снова. Собственный вектор, соответствующий собственному числу ₄ = 34, состоит из одних единиц V₄ = (1, 1, 1, 1). (Аналогичное утверждение справедливо и для предыдущей матрицы – собственному числу ₄ = 34 = K₄ соответствует собственный вектор, составленный из единиц).

Матрица квадрата Генезиса шестого порядка

имеет собственное число равное 111. Число 111 является константой Генезиса K₆.

Для матрицы квадрата Генезиса восьмого порядка, приведенного выше, в наборе из восьми собственных чисел присутствуют четыре действительных числа: ₁ = ₂ = ₃ = 0, ₄ = 260. Напомним, что 260 является константой Генезиса восьмого прядка. Кроме того, собственный вектор, соответствующий собственному числу 260, также оказывается составленным из единиц V₄ = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).