Предположения и опровержения. Рост научного знания

* Начала математики (лат.). — Примеч. ред. (352:)

(б) Они могут быть построены таким образом, что не достигают этой цели. Это видно из того факта, что некоторые исчисления, например, арифметика натуральных или действительных чисел, пригодна для описания одних фактов, но не годится для описания других фактов.

(в) В той мере, в которой исчисление применимо к реальности, оно утрачивает характер логического исчисления и становится описательной теорией, которую можно опровергнуть эмпирически; если же его истолковывают как неопровержимое, т.е. как систему логически истинных формул, а не как описательную научную теорию, оно не применимо к реальности.

В данном разделе мы коротко рассмотрим лишь (б) и (в), замечание относительно (а) будет высказано в следующем разделе.

Обратившись к (б), можно заметить, что исчисление натуральных чисел используется для подсчета бильярдных шаров, пенсов или крокодилов, в то время как исчисление действительных чисел дает средства для измерения континуальных величин, таких как геометрические расстояния или скорости. (Это становится особенно ясно в теории действительных чисел Брауэра.) Мы не можем сказать, например, что в нашем зоопарке имеется π крокодилов. Для подсчета крокодилов мы пользуемся исчислением натуральных чисел. Но для того чтобы установить, на какой географической широте расположен наш зоопарк, или его расстояние от Гринвича, нам может потребоваться число π. Поэтому трудно согласиться с мнением о том, что любое из исчислений арифметики применимо к любой реальности (кажется, на этом мнении основывается та проблема, которую мы обсуждаем на нашем симпозиуме).

Теперь обратимся к (в). Суждение типа «2 + 2 = 4» можно применять, например, к яблокам, в разных смыслах, из которых я рассмотрю только два. В первом смысле утверждение «2 яблока + 2 яблока = 4 яблока» считается неопровержимым и логически истинным. Однако оно столь же мало описывает какие-то факты относительно яблок, как и утверждение «Все яблоки есть яблоки». Подобно последнему утверждению, оно (353:) является логической тавтологией: единственное различие состоит в том, что оно опирается не на определения знаков «все» и «есть», а на определения знаков «2», «4», «+» и «=». (Эти определения могут быть явными или неявными.) В этом случае мы могли бы сказать, что данное применение является не истинным, а мнимым, что здесь мы не описываем какую-то реальность, а лишь утверждаем, что один способ описания реальности эквивалентен другому.

Более важным является применение во втором смысле. В этом смысле «2 + 2 = 4» означает, что если кто-то положил в корзину два яблока, потом еще два и ничего не вынимал из корзины, то в корзине окажется четыре яблока. При такой интерпретации утверждение «2 + 2 = 4» помогает нам вычислять, т.е. описывать определенные физические факты, и символ «+» представляет некоторое физическое действие — добавление одних предметов к другим. (Здесь мы видим, что логический символ иногда можно интерпретировать дескриптивно⁵.) Но в этой интерпретации утверждение «2 + 2 = 4» становится скорее физической, нежели логической теорией. И поэтому мы уже не можем быть уверенными в том, что оно останется универсально истинным. Оно справедливо для яблок, но едва ли справедливо для кроликов. Если вы сунете в клетку 2 + 2 кроликов, то вскоре можете обнаружить там 7 или 8 кроликов. Оно неприменимо и к таким вещам, как капли. Если вы накапаете в бутылку 2 + 2 капель, то вы никогда не найдете там четырех капель. Иными словами, если вас удивляет, что «2 + 2 = 4» не всегда применимо в мире, то ваше удивление легко устранить. Пара кроликов разного пола или несколько капель воды служат моделью такого мира. Если вы отвечаете, что эти примеры не являются подходящими, поскольку с кроликами и каплями что-то происходит и поскольку равенство «2 + 2 = 4» применимо только к таким объектам, с которыми ничего не происходит, то я скажу, что тогда вы имеете дело не с «реальностью» (ибо в «реальности» все время что-то происходит), а с абстрактным миром неизменных объектов. В той мере, в которой наш реальный мир похож на абст-

354

рактный мир, в котором наши яблоки не гниют, кролики и крокодилы не размножаются, иными словами, в той мере, в которой наши физические действия похожи на чисто логическую или арифметическую операцию сложения, арифметика, конечно, будет применима. Но это утверждение тривиально.