Предположения и опровержения. Рост научного знания

Отсюда искомый результат получается посредством счета. Однако переход от первого рисунка ко второму нельзя обо-

144

сновать посредством арифметического подсчета точек и даже посредством рациональных дробей.

Невозможность этого устанавливается знаменитым доказательством иррациональности диагонали, т.е. квадратного корня из 2, — доказательством, хорошо известным Платону и Аристотелю. Это доказательство заключается в демонстрации того, что предположение

(1) V2 = п/т,

гласящее, что V2 равен рациональной дроби двух натуральных чисел пит, приводит к противоречию. Сначала мы можем предположить, что

(2) только одно из двух чисел пит является четным. Если бы оба числа были четными, то мы всегда могли бы

сократить их на 2 и получить два других числа п' и т', таких что ^п/т = ^п'/т\ и из которых лишь одно могло быть четным. Возведя в квадрат обе части равенства (1), мы получаем:

(3) 2 = п²/т², а из этого получаем:

(4) 2т² = п². Таким образом,

(5) п является четным.

Это означает, что должно существовать такое натуральное число а, что:

(6) п = 2а Теперь из (3) и (6) мы получаем:

(7) 2т² = п²= Аа² из чего следует, что:

(8) т² = 2а² Но это означает, что

(9) т является четным.

Ясно, что (5) и (9) противоречат допущению (2). Таким образом, предположение о том, что существуют два натуральных числа пит, рациональная дробь которых равна V2, приводит к абсурдному выводу. Следовательно, V2 не является рациональной дробью, он «иррационален».

145

В этом доказательстве используется только арифметика натуральных чисел. Следовательно, здесь мы имеем дело с чисто пифагорейскими методами, поэтому не стоит спорить с традицией, приписывающей открытие этого доказательства пифагорейской школе. Однако невероятно, чтобы оно было сделано Пифагором или очень рано, ибо о нем не знал ни Зенон, ни Демокрит. Более того, поскольку оно подрывало основы пифагорейского учения, постольку можно предполагать, что это открытие не было сделано до того, как это учение достигло пика своего влияния, ибо оно должно было содействовать упадку этого учения. Мысль о том, что оно было открыто в пифагорейской школе, но держалось в секрете, представляется мне вполне допустимой. В ее пользу свидетельствует то обстоятельство, что старый термин для слова «иррациональный» — «arrhetos», «непроизносимый» или «не-упоминаемый» — вполне может указывать на скрываемый секрет. Традиция говорит о том, что члены школы, пытавшиеся раскрыть этот секрет, были убиты за предательство⁴⁰. Так или иначе, но трудно сомневаться в том, что осознание существования иррациональных величин (которые, конечно, не считались числами) и возможности доказательства их существования подрывало веру в пифагорейское учение и надежду на то, что из арифметики натуральных чисел можно вывести космологию или хотя бы геометрию.

VIII

Именно Платон осознал этот факт и выразительно подчеркнул его значение в «Законах», обвинив своих современников в неспособности оценить его следствия. Как мне представляется, влияние этого факта испытала на себе вся его философия и, в частности, его теория «форм» или «идей».

Платон был очень близок к пифагорейцам и к школе эле-атов, и хотя он, по-видимому, недолюбливал Демокрита, сам он был в некотором роде атомистом. (Атомистическое учение сохранялось в качестве одной из традиций Академии⁴¹.) Это

146

неудивительно, если принять во внимание тесную связь пифагорейства с идеями атомизма. Однако все это оказалось под угрозой благодаря открытию иррациональности. Я полагаю, что главный вклад Платона в науку обусловлен его осознанием проблемы иррациональности и той модификацией пифагорейства и атомизма, которую он предпринял для спасения науки от катастрофы.

Он понял, что чисто арифметическая теория природы рухнула и нужен новый математический метод описания и объяснения мира. Поэтому он приступил к разработке самостоятельного геометрического метода. Свое наиболее полное воплощение этот метод нашел в «Элементах» платоника Евклида.

Каковы факты? Я попытаюсь кратко суммировать их.

(1) Учение пифагорейцев и атомизм Демокрита существенно опирались на арифметику, т.е. на счет.

(2) Платон подчеркнул катастрофические последствия открытия иррациональности.

(3) Над входом в Академию он написал: «Да не войдет сюда никто, не знающий геометрии». Но геометрия, согласно прямому ученику Платона Аристотелю⁴² и Евклиду, часто говорит о несоизмеримостях и иррациональности в отличие от арифметики, рассматривающей «четное и нечетное» (т.е. целые числа и их отношения).

(4) Вскоре после смерти Платона его школа в «Элементах» Евклида создала произведение, освободившее математику от «арифметического» предположения о соизмеримости и рациональности.

(5) Платон и сам внес вклад в это развитие, в частности, в разработку геометрии твердых тел.