Предположения и опровержения. Рост научного знания

Однако я не буду больше заниматься вопросом о правильном употреблении слова «философия», ибо это — проблема Витгенштейна и очевидно относится к употреблению языка. Здесь мы имеем дело с типичной псевдопроблемой, обсуждение которой не может принести ничего, кроме скуки. Теперь мне хочется добавить несколько слов относительно теории форм или идей Платона, точнее, относительно пункта (6) данного выше списка исторических фактов.

Теорию структуры материи Платона можно найти в «Тимее». Она имеет внешнее сходство с современной теорией твердых тел, истолковывающей их как кристаллы. Физические тела у Платона составлены из невидимых элементарных частиц различного вида. Видом этих частиц обусловлены макроскопические свойства видимой материи. Вид же элементарных частиц, в свою очередь, детерминирован видом плоских фигур, образующих их стороны. Наконец, сами эти плоские фигуры все состоят из двух элементарных треугольников: равнобедренного прямоугольного треугольника (половина квадрата), содержащего квадратный корень из двух, и прямоугольного треугольника (половина прямоугольника), содержащего квадратный корень из трех, т.е. иррациональные величины.

Эти треугольники считаются копиями⁵⁰ неизменных «форм» или «идей». Это означает, что геометрические «формы» включаются в сферу пифагорейских арифметических форм-чисел.

150

Трудно сомневаться в том, что побудительным мотивом этого построения было стремление преодолеть кризис атомизма посредством включения иррациональностей в конечные элементы мира. Как только это было сделано, затруднение, вызванное существованием иррациональных расстояний, исчезло.

Но почему Платон избрал именно эти два вида треугольников? В другом месте⁵¹ я высказал предположение о том, что Платон верил, будто все другие иррациональности можно получить посредством рационального умножения квадратных корней из двух или трех⁵². Теперь я думаю, что это не вытекает из важнейшего отрывка из «Тимея» (это неверно, как впоследствии показал Евклид). В упомянутом отрывке Платон говорит совершенно ясно: «Все треугольники выводимы из двух, имеющих прямой угол», и характеризует эти два треугольника как полу-квадрат и полу-прямоугольник. Однако в его контексте это может означать лишь, что все треугольники можно представить как комбинацию этих двух треугольников. Такая точка зрения эквивалентна ошибочной теории относительно соизмеримости всех иррациональных величин и суммы рационального числа с квадратными корнями из двух и трех⁵³.

Однако Платон не претендовал на доказательство этой теории. Напротив, он отмечал, что принимает эти два треугольника в качестве принципов, «в соответствии с подходом, соединяющим предполагаемое с необходимым». А несколько ниже, после утверждения о том, что полу-прямоугольный треугольник он принимает в качестве второго принципа, он говорит: «Слишком долго рассказывать о причинах, но если кто-то захочет заняться этим вопросом и доказать, что он обладает этим свойством (я думаю, тем свойством, что все другие треугольники можно составить из этих двух), то мы охотно отдадим ему награду»⁵⁴. Язык несколько темен, и можно допустить, что Платон осознавал отсутствие доказательства его (ошибочного) предположения относительно этих двух треугольников и надеялся, что кто-то его предложит. (151:)

Неясность этого отрывка привела к странному следствию. Большинство читателей и комментаторов Платона не заметили, что избранные им треугольники вводят иррациональности в его мир форм, хотя в других местах Платон подчеркивает важность проблемы иррациональности. Возможно, это объясняет, почему теория форм Платона могла показаться Аристотелю по существу аналогичной пифагорейской теории форм-чисел⁵⁵ и почему атомизм Платона показался Аристотелю лишь вариантом атомизма Демокрита⁵⁶. Несмотря на то что Аристотель ассоциировал арифметику с четным и нечетным, а геометрию — с иррациональным, он не воспринимал проблему иррациональности всерьез. Опираясь на интерпретацию «Тимея», отождествлявшую платоновское Пространство с материей, Аристотель, по-видимому, считал платоновскую программу реформы геометрии выполненной. Отчасти это было осуществлено Евдоксом еще до того, как Аристотель пришел в Академию, а сам он лишь весьма поверхностно интересовался математикой. Он нигде не упоминает о надписи над воротами Академии.