Примени математику

В настоящем параграфе мы предлагаем вам несколько практических задач, в которых нужно использовать геометрический материал для нахождения точек или линий на местности из соображений равенства каких-либо расстояний. Желательно, чтобы те построения, которые вам понадобятся для решения этих задач, оказались по возможности более простыми. Если они не потребуют никаких средств, выходящих за рамки простейшей геометрии на местности (§ 9), то такие построения можно будет осуществить в обычных условиях без использования сколько-нибудь сложных измерительных приборов. В противном случае для реализации построений можно изобразить исходную конфигурацию на плане и, решив задачу на бумаге с помощью циркуля и линейки, перенести результат на местность.

Ниже мы предполагаем, что все населенные пункты имеют незначительные размеры и могут быть приняты в задачах за точки, а магистрали, каналы и железные дороги являются прямыми и имеют пренебрежимо малую ширину, т. е. могут быть представлены как прямые линии.

11.1. Автозаправочная станция Невдалеке от двух населенных пунктов проходит шоссе. В каком месте этого шоссе нужно построить автозаправочную станцию, чтобы расстояния от нее до обоих пунктов были одинаковыми?

11.2. Где вырыть колодец? Жильцы трех домов решили совместными усилиями построить колодец. Какое место для колодца следует выбрать, чтобы все три расстояния от него до домов были одинаковыми?

11.3. Мост через речку Две магистрали пересекаются под углом, внутри которого протекает речка. Где построить мост через речку, чтобы расстояния от него до обеих магистралей были одинаковыми?

11.4. Пионерский лагерь Две магистрали пересекают канал в разных местах. Где нужно разместить пионерский лагерь, чтобы расстояния от него до канала и до каждой магистрали оказались одинаковыми? Укажите место расположения пионерского лагеря, при котором эти расстояния минимальны?

11.5. Выбор направления В каком направлении через город должна проход магистраль, чтобы два данных населенных пункта лежали по разные стороны от нее на одинаковом расстоянии?

11.6. Расположение магистрали Как должна проходить магистраль, чтобы расстояния от нее до трех данных населенных пунктов были одинаковыми? Укажите положение магистрали, при котором эти расстояния минимальны.

11.7. Как провести дорогу? Магистраль пересекает канал под углом, внутри которого расположен населенный пункт. В каком направлении следует провести через этот пункт прямую дорогу, чтобы расстояния по ней до магистрали и до канала оказались одинаковыми?

11.8. Железнодорожный полустанок Железная дорога пересекает канал под острым углом, внутри которого расположен населенный пункт. В каком месте железной дороги нужно расположить полустанок, чтобы расстояния от него до этого пункта и до канала оказались одинаковыми? Укажите положение полустанка, при котором эти расстояния минимальны.

11.9. Место для пруда Две магистрали пересекаются под углом, внутри которого расположен населенный пункт. Как выбрать место для устройства пруда круглой формы, чтобы расстояния от него до этого пункта и до каждой магистрали оказались одинаковыми?

11.10. Где вырыть пруд? Как выбрать место для устройства пруда круглой формы, чтобы расстояния от него до данной магистрали и до каждого из двух данных населенных пунктов, расположенных с одной стороны от магистрали, были одинаковыми?

Решения

11.1. Обозначим через А и В данные в задаче населенные пункты и проведем на местности серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Так как все точки этого перпендикуляра равноудалены от пунктов А и В и никакие другие точки этим свойством не обладают, то автозаправочную станцию нужно построить в точке пересечения перпендикуляра с шоссе (если такая точка найдется).

11.2. Пусть A, В и С - точки расположения трех данных домов. Проведем серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Тогда точка О их пересечения будет единственной точкой, равноудаленной от точек A, В и С, поскольку для этой точки выполнены равенства АО = ОВ и ВО = ОС, а если точку О выбрать иначе, то для нее хотя бы одно из указанных равенств будет несправедливо. Заметим, что проведенные перпендикуляры могут и не пересечься, но только в случае, когда точки A, В и С лежат на одной прямой. Таким образом, искомое место для колодца - точку О - можно найти приведенным способом, но лишь при условии, что дома расположены не на одной прямой.

11.3. Проведем биссектрису угла, образованного магистралями. Так как все точки этой биссектрисы равноудалены от магистралей и никакие другие точки внутри угла этим свойством не обладают, то мост через речку нужно построить в точке пересечения биссектрисы с речкой (если такая точка найдется).