Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Такое нелегко себе представить. Функции (ln  x) ^Nрастут быстро — и даже оченьбыстро. И тем не менее, если на рисунке 5.3отойти достаточно далеко на восток, то рано или поздно, при некотором впечатляюще большом аргументе, каждая из них опустится ниже кривой x ^0,3, x ^0,2, x ^0,1и вообще любой кривой из этого семейства, какую вы только потрудитесь нарисовать. Придется отправиться на восток в окрестность точки x= 7,9414 x10 ³⁹⁵⁹, прежде чем (ln  x) ¹⁰⁰опустится ниже, чем x ^0,3; и однако же это случится.

V.

Кое-что из сказанного понадобится нам прямо сейчас, а кое-что останется на потом. Но все сказанное важно для понимания Гипотезы Римана, и я призываю вас проконтролировать некоторые основные моменты — проверить, как вы их понимаете, прежде чем двигаться дальше. Для этого сгодится карманный калькулятор. Можете, например, найти ln 2 (он равен 0,693147…) и ln 3 (равный 1,098612…) и удостовериться, что при сложении их действительно получается ln 6 (равный 1,791759…). Но только обратите, пожалуйста, внимание, что (как я уже упоминал) прежде использовались логарифмы по основанию 10, так что клавиша «log» на многих карманных калькуляторах вычисляет именно десятичные логарифмы. Тот единственный логарифм, который нас здесь интересует, — логарифм по основанию e— на калькуляторе, как правило, вычисляется с помощью альтернативной клавиши, помеченной ln  x. Вот эта клавиша вам и нужна. (Буква nуказывает на «натуральный» логарифм; логарифм по основанию eпо всем правилам называется «натуральный логарифм».)

Ну а теперь вернемся к базельской задаче.

VI.

Эйлерово решение базельской задачи прекрасно иллюстрирует сделанное в разделе I этой главы замечание, что поиск решений в замкнутом виде расширяет понимание, позволяя проникнуть в суть вещей. Эйлерово решение дало не только замкнутое выражение для ряда из обратных квадратов, но в качестве побочного продукта еще и замкнутые выражения для рядов ,  и т.д. Для четных Nрезультат Эйлера дает в замкнутом виде точное значение для следующего бесконечного ряда (5.1):

Когда Nравно двум, ряд сходится к ²/6, как уже было сказано; когда Nравно 4, ряд сходится к ⁴/90; когда Nравно 6, ряд сходится к ⁶/945 и т.д. Метод Эйлера дает ответ для каждого четного N.В более поздней публикации он сам добрался до N= 26, когда ряд сходится к числу 1 315 862 ²⁶/11 094 481 976 030 578 125.

А что, если Nнечетное? Полученный Эйлером результат ничего про это не говорит. Как не говорит и ни один другой результат, полученный за последующие 260 лет. Нет никаких идей относительно замкнутого выражения (если таковое вообще существует) ни для , ни для аналогичного ряда при других нечетных показателях степени. Никто не смог найти замкнутое выражение для этих рядов. Мы знаем, что они сходятся, и можем, конечно, методом грубой силы вычислить их значение с любой требуемой точностью. Мы просто не знаем, что они означают. Только в 1978 году было доказано, что ряд  определяет иррациональное число. [40]

Итак, к середине XVIII века немало математиков задумывались над бесконечным рядом из выражения (5.1). Точные значения — замкнутый вид — были известны для всех четных чисел N, тогда как для нечетных можно было получать приближенные значения, беря сумму достаточного числа членов. Не будем забывать, что, когда Nравно 1, соответствующий ряд становится просто гармоническим рядом, который расходится. В таблице 5.1 приведены значения выражения (5.1)(которое, напомним, есть ) с точностью до 12 знаков после запятой.

N	Значение выражения (5.1)
1	(нет значения)
2	1,644934066848
3	1,202056903159
4	1,082323233711
5	1,036927755143
6	1,017343061984

Таблица 5.1.

Эта таблица похожа на один из тех «мгновенных снимков» некоторой функции, которые мы рассматривали в главе 3.iv. Так примерно дело и обстоит. Вспомним утверждение Гипотезы Римана, приведенное во вступлении.

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Таблица 5.1 дает нам первое представление о дзета-функции Римана и тем самым представляет собой первый шаг к пониманию Гипотезы Римана.

VII.

Коль скоро в предшествующих разделах данной главы мы потрудились придать смысл степенной функции x ^aдля любого числа a, а не просто для целых чисел, сейчас нет причины ограничивать букву Nв выражении (5.1)целыми числами. Можно представить себе, как это число свободно парит, принимая различные значения — дробные, отрицательные и иррациональные. Нет, правда, гарантии, что ряд будет сходиться для всех чисел — как мы уже знаем из главы 1.iii, он не сходится при N = 1. Но можно, по крайней мере, попытать счастья, исследуя разные возможности.