Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x ^1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x. Значит, x ^1/3есть просто кубический корень из x. (Определение «кубического корня из x»: это число, куб которого равен x). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x ^2/3— это кубический корень из x, возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x ²).

6-е правило действий со степенями:

х ^m/nесть корень n-й степени из х ^m.

Поскольку 12 — это 3x4, получаем, что 12 ⁵равно (3x4)x(3x4)x(3x4)x(3x4)x(3x4). Это можно переписать как (3x3x3x3x3)x(4x4x4x4x4). Короче говоря: 12 ⁵= 3 ⁵x4 ⁵. Такое верно и в общем случае:

7-е правило действий со степенями:

(xxy) ⁿ = x ⁿxy ⁿ.

А что насчет возведения xв иррациональную степень? Что могло бы означать 12 ², или 12 , или 12 ^e? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к 2. Она выглядела так: ¹/ ₁, ³/ ₂, ⁷/ ₅, ¹⁷/ ₁₂, ⁴¹/ ₂₉, ⁹⁹/ ₇₀, ²³⁹/ ₁₆₉, ⁵⁷⁷/ ₄₀₈, ¹³⁹³/ ₉₈₅, ³³⁶³/ ₂₃₇₈, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к 2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 12 ¹равно просто 12, а 12 ^3/2— это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 12 ^7/5— это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 12 ^17/12равно 33,794038815…, 12 ^41/29равно 33,553590738…, 12 ^99/70равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к 2, очень похоже на правду, что 12 ²= 33,588665890….

Итак, задавшись положительным числом x, можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций x ^aдля различных чисел aв интервале от -2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х ⁰, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x— то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента xзначение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x ², x ³, x ⁸, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x ^0,5.

Рисунок 5.1.Степенные функции x ^aдля различных чисел a.

III.

Возведение чисел в степени на первый взгляд выглядит похожим на умножение. Умножение сначала представляют как кратное сложение: 12x5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12, затем на следующем уровне сложности объясняется, что такое 12x5 ¹/ ₂где на самом деле содержится кое-что еще, кроме кратного умножения. Похожим образом обстоит дело и с возведением в степень. Определить 12 ⁵совсем легко, это кратное умножение: 12x12x12x12x12. Чтобы справиться с , требуются дополнительные объяснения, подобные тем, что предложены в предыдущем разделе.

Как я уже говорил, математики обожают обращать выражения. Скажем, пусть задано выражение величины Pчерез Q. Отлично, давайте посмотрим, можно ли выразить Qчерез P. И здесь аналогия между умножением и возведением в степень нарушается. Обратить умножение легко: если x = axb,то a = x:bи b = x:a.Деление полностью решает проблему обращения умножения.

Аналогия нарушается, потому что axbвсегда и без единого исключения равно axb, но, к сожалению, неверно (за исключением случайных совпадений), что a ^b = b ^a(единственный случай, когда это так для целочисленных степеней и не совпадающих aи b— это 2 ⁴= 4 ²). Например, 10 ²есть 100, но 2 ¹⁰есть 1024. Поэтому, если мы собираемся обратить x = a ^b, то нам понадобятся две разные вещи: способ выразить aчерез xи bи, отдельно, способ выразить bчерез xи a.Первое — не проблема. Возведем обе части в степень ¹/ _bи в соответствии с 3-м правилом получим a = x ^1/b(что согласно 6-му правилу означает, что aесть корень b-й степени из x). Но как же выразить bчерез xи а? Правила действий со степенями не дают здесь никаких подсказок.