Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Не повторяя необходимую цепь логических рассуждений, просто отметим, что это правило применимо ко всем степеням буквы а,включая и отрицательные. Особо важный частный случай состоит в том, что ln  (1/a) =-ln  a, поскольку 1/ аесть не что иное, как a ^-1. Так что если нам известно, что ln 3 = 1,09861228866…, то мы немедленно заключаем, что ln  ¹/ ₃= -1,09861228866…. Вот почему график функции ln  xпроваливается вниз к отрицательной бесконечности по мере того, как xделается все ближе и ближе к нулю. Это обстоятельство тоже поможет нам повернуть Золотой Ключ.

IV.

Как мы видим, ln  x— медленно возрастающая функция. Неторопливость, с которой ln  xвозрастает, не только сама по себе обворожительна, но и важна. Главное здесь то, что ln  xрастет медленнее, чем любая степень буквы x. На первый взгляд это кажется довольно очевидным. Когда я говорю «степень буквы x», вы, должно быть, думаете о квадратах и кубах; а как вы знаете, график функции возведения в квадрат или куб так лихо вылетает за границы рисунка, что его и сравнивать нечего с еле плетущейся логарифмической функцией. Это, конечно, верно, но дело не в этом. Я имею в виду не степени вроде х ²или х ³, а степени типа х ^{0, 1}.

На рисунке 5.3 показаны графики некоторых функций x ^aдля малых значений a. Там выбраны a= 0,5, 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1, а пунктиром для сравнения показана логарифмическая функция. Как видно, чем меньше a, тем более плоским делается график функции x ^a.А кроме того, для тех a, которые меньше определенного значения (на самом деле — значения 1/ e, что равно 0,3678794…), кривая, отвечающая функции ln  x, пересекает кривую x ^aдо того, как уйти достаточно далеко на восток.

Рисунок 5.3.Функции x ^aпри малых положительных a.

Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a, все равно график функции ln  xрано или поздно окажется более плоским, чем график x ^a. Если абольше чем 1/ e, то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же aменьше чем 1/ e, то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x, мы увидим, как кривая ln  x сновапересекает кривую x ^a, после чего уже навсегда остается ниже нее.

Разумеется, путешествие может оказаться неблизким. Кривая ln  xповторно пересекает кривую x ^0,3чуть к востоку от точки x = 379; она повторно пересекает кривую x ^0,1только после того, как пройдет через точку x = 332 105; и она повторно пересекает кривую x ^0,001только после прохождения точки x= 3 430 631 121 407 801. Если бы мы нарисовали график функции xв степени одна триллионная (т.е. x ^{0,000000000001}), то она выглядела бы до безобразия плоской. Настолько, что ее нелегко было бы отличить от функции «остановки сердца», которая имеет высоту 1 над осью x, — ничего похожего на изящно восходящую кривую логарифмической функции. Логарифмическая кривая пересекла бы ее на малюсеньком расстоянии к востоку от e. И однако же степенная функция растет, хотя и чрезвычайно медленно, в то время как логарифмическая функция постепенно становится все более пологой. Рано или поздно они снова пересекутся, и тогда уже логарифмическая кривая навеки останется под кривой x ^{0,000000000001}. Точка пересечения в этом случае наступит при таком большом аргументе, что я не могу его здесь записать: это число начинается как 44 556 503 846 304 183… и содержит еще 13 492 301 733 606 цифр.

Картина такова, как будто ln  xстарается быть функцией x ⁰. Конечно, это не x ⁰: для любого положительного числа выражение x ⁰определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln  xи не есть x ⁰, она умудряется при достаточно больших xподнырнуть под функцию x со сколь угодно малым и оставаться там уже навсегда. [39]

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln  xрано или поздно будет расти медленнее, чем x ^0,001, и x ^0,000001, и x ^0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждениев некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln  x) ¹⁰⁰рано или поздно будет расти медленнее, чем x ^0,1, и x ^0,0001, и x ^0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x, то это же верно и для любой степени функцииln  x. Каждая из функций (ln  x) ², (ln  x) ³, (ln  x) ⁴, …, (ln  x) ¹⁰⁰, … растет медленнее, чем любая степень x. Независимо оттого, сколь велико Nи сколь мало , график функции (ln  x) ^Nв конце концов поднырнет под график функции x и останется там, внизу.