Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Здесь-то и появляются логарифмы. Ответ таков: bесть логарифм xпо основанию a.Это просто-напросто определение логарифма. Логарифм числа xпо основанию a(обычно записываемый как log _a x) определяется как такое число b, для которого верно равенство x = a ^b.Это дает целое семейство логарифмических функций: логарифм xпо основанию 2, логарифм xпо основанию 10 (который более старшие читатели могут припомнить в качестве облегчающего вычисления средства, — его проходили в старших классах школы примерно до 1980 года) и т.д. Можно было бы представить их все в виде графиков, как это сделано для графиков функций х ⁰на рисунке 5.1.

Я не буду этого делать, потому что мне глубоко безразличны все члены логарифмического семейства, кроме одного — логарифма по основанию e, где e— необычайно важное, хотя и иррациональное число 2,71828182845…. Логарифм по основанию e— единственный, который меня интересует, и единственный, которым мы будем пользоваться в этой книге. На самом деле я больше не буду говорить «логарифм по основанию e», а буду говорить просто «логарифм». [37]Так что же такое логарифм числа x? По данному выше определению, это такое число b, для которого делается верным равенство x = e ^b.

Поскольку ln  x— это такое число b, для которого верно равенство x = e ^b, ясно, что x = e ^ln  x. Это равенство — просто записанное математически определение того, что такое ln  x. Но в дальнейшем оно будет играть такую важную роль, что мы сделаем из него правило.

8-е правило действий со степенями:

x = e^ln  x.

Это верно для любого положительного числах. Например, ln 7 есть 1,945910… по той причине, что (с точностью до шести знаков после запятой) 7 = 2,718281 ^1,945910. Отрицательные числа не имеют логарифмов (хотя это еще одна вещь, по поводу которой я оставляю за собой право потом передумать). И нуль также не имеет логарифма. Не существует такой степени, в которую можно было бы возвести в, чтобы получить отрицательный или нулевой результат. Область определения логарифма составляют все положительные числа.

Логарифмическая функция присутствует повсеместно в рассматриваемой области математики. Мы уже встречали ее в главе 3.viii-ix, где она участвовала в Теореме о распределении простых чисел и в ее эквивалентных формулировках. Она будет появляться снова и снова в этой книге во всем, что имеет отношение к простым числам и дзета-функции.

Раз уж логарифмическая функция будет встречаться на каждом шагу, рассмотрим ее подробнее. На рисунке 5.2 показан график [38]функции ln  xдля аргументов, простирающихся до 55. В частности, отмечены значения этой функции для аргументов, равных 2, 6, 18 и 54. Эти аргументы растут «по умножению» на тройку, а как видно из графика, соответствующие значения функции растут равными шагами — т.е. «по сложению». Именно это обстоятельство подчеркивалось, когда мы говорили о логарифмической функции в главе 3.viii.

Рисунок 5.2.Логарифмическая функция.

Дело стоит того, чтобы сказать еще несколько слов. Логарифмическая функция хороша тем, что она превращает умножение в сложение. Взглянем на линии, отмеченные на графике. Аргументы равны 2, 6, 18 и 54 — мы начинаем с 2, потом умножаем на 3, потом снова на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Значения функции, если ограничиться четырьмя знаками после запятой, равны 0,6931, 1,7918, 2,8904 и 3,9890 — они начинаются с 0,6931, потом прибавляется 1,0987, затем 1,0986 и еще раз 1,0986. Логарифмическая функция превратила умножение (на 3 в нашем случае) в сложение (прибавление числа ln 3, равного 1,09861228866811…).

Это следует из определения ln  xи из правил действий со степенями. Из 8-го правила следует, что если aи b— любые два положительных числа, то axb = e ^ln  a xe ^ln  b. Но, заменяя правую часть согласно 1-му правилу, получаем axb= e ^ln  a +  ^ln  b. Однако axb— само по себе некоторое число, и, согласно 8-му правилу, имеем axb= e ^ln  (axb). Мы получили два различных выражения для axb. Приравнивая их, получаем новое правило действий со степенями.

9-е правило действий со степенями:

ln  (axb) =ln  a +ln  b.

Это потрясающая штука. Она означает, что, когда мы сталкиваемся со сложной задачей на умножение, «взятие логарифмов» (т.е. применение того принципа, что из равенства P= Qследует равенство ln  P= ln  Q) позволяет свести ее к задаче на сложение, которая может оказаться проще. Звучит это почти банально, и тем не менее именно этот нехитрый приемчик понадобится нам в главе 19.v для того, чтобы повернуть Золотой Ключ.

Из того, что ln  (axb) =ln  a +ln  b, следует, что ln  (axaxax…) =ln  a +ln  a +ln  a + …. И это дает последнее правило действий со степенями.

10-е правило действий со степенями:

ln  (a ^N) = Nxln  a.