Прозрение

Второй, гораздо более сложный пример. Рассмотрим турбулентное течение жидкости в трубе. Например, – воды. Математическая модель движения вязкой жидкости имеется, строго выведена из простейших явлений Природы, не подвергаемым никаким сомнениям. Это, так называемые, дифференциальные уравнения Навье – Стокса. Воспользуемся этой моделью. Возьмем некоторое поперечное сечение трубы и выберем в нем некоторую точку (частицу) с определенными координатами и скоростью. Это будут начальные условия для наших уравнений. Будем искать траекторию движения частицы вдоль течения в трубе (это, так называемое, граничное условие; на стенках трубы скорость жидкости равна нулю). И мы довольно легко найдем ее конкретные положения во времени и пространстве, применяя численный метод решения дифференциальных уравнений. Но попробуем повторить расчет, в точности восстановив начальные условия. Как это ни странно, но мы получим совершенно другую траекторию, и другое положение частицы в заданный момент времени [11]. И сколько бы раз мы не повторяли этот численный эксперимент, каждый раз получатся другие результаты. В чем же дело? Демон Лапласа озадачен. Мы явно наблюдаем случайное явление. Понятно, что оно со всей тщательностью исследовано (странный аттрактор). И доказано, что при решении этих уравнений часто возникают неопределенности. Например, деление на ноль, как в предыдущем примере. Вычисляя вручную, мы могли бы найти этот казус и остановить дальнейшее решение. Но компьютер вычисляет всегда с некоторой погрешностью (число знаков после запятой ограничено) и легко пропускает эту ошибку.

Но позвольте. Тогда в реальном течении жидкости возможна совершенно невероятная ситуация, когда скорость жидкости в некотором месте устремится к бесконечности (деление на ноль!). Но, не будет этого, потому что малейшее возмущение (даже тепловое движение молекул) столкнет частицу с этой неустойчивой траектории, в какую-нибудь сторону. Просто мы используем детерминированную модель, без учета вероятностных явлений. Иногда модель просто перестает соответствовать описываемому явлению из-за разрыва математических функций или их производных. Примером функции с разрывом является тангенсоида, если ее аргумент (угол) переходит через π/2. Например, набегающая на пологий берег волна становится все круче и, наконец, обрывается, разрушаясь.

Таким образом, мы пришли к почти всеобъемлющему объяснению возникновения случайных явлений в природе, так как уравнения Навье – Стокса охватывают все течения всех жидкостей и газов на нашей планете.

Второе серьезное возражение против такого детерминизма заключается в том, что даже теоретически невозможно предоставить демону Лапласа исходные данные для расчета – положения и скорости всех частиц. Во-первых, это практически неосуществимо, во-вторых, мы не можем обеспечить абсолютную точность этих данных. Последнее видно на примере перехода теплоты от горячего тела к холодному. Допустим два тела, между которыми происходит перенос теплоты, просто соприкасаются. Температура прямо связана с кинетической энергией молекул. То есть молекулы более горячего тела двигаются быстрее, чем молекулы холодного. И энергия будет передаваться при столкновениях молекул. Но, если мы имеем дело с классической механикой Ньютона, то скорости в любой момент можно мысленно обратить вспять (сменить знак времени). И система вернется в первоначальное состояние. Никакой неопределенности эта механика не дает. Теплота перейдет назад, от холодного тела к горячему. Но если это «первоначальное состояние» задано не абсолютно точно, то мы вернуться в него не сможем по простой причине, что при последующих столкновениях молекул первоначальная ошибка набегает. И даже небольшая ее величина приведет совершенно к другому результату. Сменив в какой-то момент знак времени, мы опять должны задать точно положения и скорости частиц. И, если мы этого не сделаем, то не придем к начальному состоянию. Опять мы естественно получили случайное явление. И даже мысленная попытка создать абсолютную точность опять приводит к бесконечности, т.е. к неопределенности, как и в предыдущем примере с монетой.

Исторически эта проблема существования случайных явлений в Природе, в первую очередь, в термодинамике, прояснялась с большим трудом, с привлечением великих ученых: Л. Больцмана, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна, Д. Гиббса и др. Эта история подробно описана в книге [16]. Поэтому, если мы примем, что в Природе существует множество неопределенных явлений, результат которых неоднозначен, то нетрудно доказать неизбежность естественного возникновения необратимости, нарастания неопределенности. Для этого надо принять следующую аксиому.