Психология процесса изобретения в математике

Всякий объявил бы это чистым безумием, и тем не менее всё развитие алгебры и анализа было бы невозможным без этого отправного положения, которое, естественно, получило в XIX веке твёрдое и строгое обоснование. С тех пор стало возможным утверждать, что наиболее короткий и наилучший путь между двумя истинами в действительной области часто проходит через мнимую область. [Замечательное высказывание! — E.G.A.]

Мы упоминаем о Кардано одновременно с Сократом и Нумой Помпилием, так как некоторые из его биографов сообщают, что были и в его жизни периоды, когда таинственный голос что-то внушал ему. Но свидетельства на этот счёт не лишены противоречий.

ГЛАВА IX ОБЩЕЕ НАПРАВЛЕНИЕ, ДАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЮ

Прежде чем попытаться что-либо открыть или попробовать решить определённую задачу, ставится следующий вопрос: что мы будем пытаться открыть? Какую проблему мы попытаемся решить?

Две концепции изобретения

В своём (уже упомянутом) вступительном слове на коллоквиуме в Центре синтеза Клапаред заметил, что существует два вида изобретений: один характеризуется тем, что цель известна и нужно найти средства, чтобы её достигнуть, так что ум идёт от цели к средству, от вопроса к решению; другой, напротив, состоит в том, чтобы открыть факт и затем представить себе, чему он мог бы служить, так что на этот раз ум идёт от средства к цели и ответ доходит до нас раньше, чем вопрос.

И вот, как это ни кажется парадоксальным, чаще всего встречается второй вид изобретений, и он становится всё более общим по мере развития науки. Практическое приложение находят тогда, когда его не ищут, и, можно сказать, что вся программа современной цивилизации зиждется на этом принципе. Когда греки, приблизительно за четыре века до нашей эры, рассматривали эллипс (т. е. плоскую кривую, порождённую движением точки M, сумма расстояний которой MF + MF' от двух данных точек F и F' постоянна), и вывели отсюда многочисленные и замечательные следствия, они не могли думать ни о каком использовании этих открытий. И тем не менее без этих исследований Кеплер не мог бы открыть спустя две тысячи лет законы движения планет и Ньютон не мог бы открыть закон всемирного тяготения.

Результаты более практического характера подчиняются тому же правилу. Первоначально воздушные шары наполняли водородом или светильным газом, что создавало серьёзную угрозу взрыва. В настоящее время мы можем наполнять эти шары негорючими газами. Этот процесс стал возможен по двум причинам: во-первых, потому что сумели узнать, какие вещества содержатся в атмосфере Солнца и какие там не содержатся; и, во-вторых, потому что учёными, в том числе Релеем и Рамзаем, были начаты исследования по определению плотности азота с точностью до 0,0001 вместо точности до 0,001, которая была получена раньше. Оба этих вопроса были изучены прежде, чем предвидели какое бы то ни было их применение.

Но мы должны отметить, что, естественно, и приложения полезны и фактически необходимы для теории, потому что они ставят перед теорией новые вопросы. Можно сказать, что приложения и теория находятся в том же отношении, как лист и дерево: дерево держит лист, но лист питает дерево. Не желая перечислять различные важные физические примеры, напомним лишь, что первая математическая основа греческой науки — геометрия — была вызвана практической необходимостью, как это показывает само её название — «землемерие».

Но этот пример исключителен в том смысле, что чаще всего практические вопросы решаются с помощью существующих теорий: практические приложения открытий чистой науки, как бы важны они ни были, приходят обычно гораздо позднее (хотя в последнее время эта отсрочка может быть значительно сокращена, как это было при изобретении радиотелеграфа, который начал функционировать уже через несколько лет после открытия Герцем радиоволн, или совсем недавно, при открытии атомной энергии). Редко бывает, чтобы важные математические исследования были предприняты непосредственно с целью их определённого практического применения. Чаще всего исследователи руководствовались общим мотивом всякой научной работы — желанием знать и понимать. Следовательно, из двух названных нами видов изобретения математикам известен лишь второй.

Выбор темы

Оставляя в стороне практические приложения, которые обычно, если могут быть сделаны, будут сделаны гораздо позднее, заметим, что математические открытия могут быть более или менее богаты теоретическими следствиями. Чаще всего они остаются нам неизвестными, так же полностью неизвестными, как людям, установившим впервые химический состав солнечной атмосферы, были неизвестны невозгораемые воздушные шары.

Как же мы должны выбирать тему исследования? Этот деликатный выбор является одной из наиболее важных сторон исследования — именно по этому выбору мы обычно судим о значении учёного.