Психология процесса изобретения в математике

Но нельзя привести более типичный пример в этом смысле, чем современный функциональный анализ. Когда Иоганн Бернулли искал в XVIII веке 124, какова должна быть форма кривой, падая вдоль которой небольшое весомое тело проходит расстояние за минимальный промежуток времени, он был привлечён красотой этой проблемы, столь отличной от всего, что рассматривалось до тех пор, хотя и представлявшей явную аналогию с проблемами, которые уже рассматривались в исчислении бесконечно малых. Им могла руководить лишь эта красота. Нельзя было и подозревать в его время, что впоследствии вариационное исчисление — т. е. теория проблем такого вида — поможет усовершенствовать механику в конце XVIII и в начале XIX века.

Ещё более удивительным оказалась судьба того обобщения этой первоначальной концепции, которое было развито в конце XIX века, главным образом под мощным влиянием Вольтерра. Почему этот крупный итальянский геометр стал оперировать с функциями так, как в исчислении бесконечно малых оперируют с числами, т. е. рассматривая функцию как непрерывно меняющийся элемент? Только потому, что он отдавал себе отчёт в том, что этот метод должен был гармонично дополнить структуру математического здания, точно так же, как архитектор видит, что здание будет лучше уравновешено, если прибавить к нему одно крыло. Уже тогда можно было представить себе (как мы объясняли в гл. III), что гармоничное творение такого типа может помочь решать такие связанные с функциями проблемы, которые раньше рассматривались лишь с одной точки зрения; но то, что эти «функционалы», как назвали это новое понятие, могут быть непосредственно связаны с действительностью, нельзя было считать ничем иным, как нелепостью. Функционалы казались математическим понятием, существенно и полностью абстрактным.

И вот, произошла именно нелепость: столь мало понятное и трудно постижимое новое понятие, каким оно могло казаться современным физикам, с которым умеют обращаться только студенты, уже свободно владеющие математическим анализом, оказалось абсолютно незаменимым, чтобы математически представить любое физическое явление (согласно недавней теории «волновой механики»). Каждую из доступных наблюдению величин — давление, скорость и т. д., — которую обычно определяли с помощью чисел, нельзя больше рассматривать как число — математически она представляется функционалом!

Эти примеры дают достаточно полный ответ на сомнение, выраженное Уолласом по поводу значения чувства красоты в качестве «двигателя» открытия. Наоборот, создаётся впечатление, что у нас в математике это чувство является чуть ли не единственно полезным.

Мы ещё раз видим, что выбор направления мысли включает в себя эмоциональные элементы, и последнее обязательно имеет место при непрерывности внимания, при той верности ума своей цели, о важности которой мы говорили в гл. IV 125.

На этой стадии, как и для вдохновения, выбор руководствуется чувством красоты; но на этот раз мы обращаемся к нему сознательно, в то время как в области бессознательного это чувство работает, чтобы дать нам вдохновение.

Направление изобретательской работы и стремление к оригинальности

Могут ли другие причины влиять на выбор исследователем направления?

Один психоаналитик с полным основанием указал мне, что на исследовательскую работу часто могут оказывать влияние причины эмоционального характера (он мне привёл некоторые типичные примеры, взятые из жизни Фрейда). Однако шансов на то, что это относится к математике, меньше — ввиду абстрактного характера этой науки, где, употребляя знаменитое выражение Бертрана Рассела, «никогда не знают, о чём говорят, и верно ли то, что говорят».

Поднимался также вопрос, не могут ли исследователи руководствоваться менее похвальным видом страсти, проистекающим из человеческого тщеславия: желанием сделать что-нибудь оригинальное.

Мне кажется, что в искусстве или в литературе подобная вещь возможна. Или, точнее, оставляя в стороне вопрос о тщеславии, отметим, что оригинальность является одним из тех требований, которое должен предъявлять к себе каждый артист или писатель. Само собой разумеется, это замечание не относится к действительно великим творцам. Например, как видно из письма Моцарта, ему не нужно было думать о том, чтобы быть оригинальным. Но не отразилась ли эта необходимость на формировании некоторых школ живописи? Или на произведениях, в которых некоторые писатели пытались парадоксальным образом изобразить поступки или психологию известных личностей? Такой вопрос можно поставить.