Психология процесса изобретения в математике

Уже на этом выборе мы основываем наше суждение о начинающих исследователях. Студенты у меня часто консультировались по вопросу выбора темы; когда ко мне обращаются за таким советом, я его охотно даю, но должен признаться, что при этом (предварительно, конечно) я склонен считать спросившего человеком второго сорта. В другой области такого же мнения придерживается крупный индолог Сильвен Леви, который мне рассказал, что когда ему был задан такой вопрос, у него было желание ответить: «Мой юный друг, вы слушали мои лекции в течение трёх или четырёх лет и вы ни разу не заметили, что нужно было бы углубить?».

Но чем руководствоваться в этом важном и трудном выборе? Ответ почти не вызывает сомнения: это тот же ответ, который нам дал Пуанкаре по поводу средств делать открытия, тот же для «мотора», что и для «механизма». Гид, которому мы должны довериться, — это то чувство красоты, та особая эстетическая чувствительность, важность которых он подчёркивал.

Как это отмечает Ренан 121, научный вкус существует так же, как существует вкус художественный или литературный; и этот вкус может быть более или менее верным в зависимости от индивида.

О плодотворности наших будущих результатов, о которой, строго говоря, мы чаще всего заранее ничего не знаем, нас может информировать это чувство красоты, и я не вижу ничего другого, что бы нам позволило строить догадки. По крайней мере, как мне кажется, оспаривать это — было бы лишь спором о словах. Не зная ничего более, мы чувствуем, что продолжать исследование по такому-то направлению стоит труда; мы чувствуем, что вопрос сам по себе заслуживает внимания и что его решение будет иметь некоторую ценность для науки независимо от того, будет ли оно или не будет иметь приложение в будущем. Каждый волен называть это чувством красоты или нет. Бесспорно, это то, о чём думали греческие геометры, изучая эллипс, так как они не могли думать ни о чём другом.

Что касается приложений, даже совершенно непредвиденных, то в дальнейшем они чаще всего появляются, если наше начальное чувство было верным. Я приведу несколько личных примеров, но прошу извинить это неоднократное обращение к моему личному опыту, о котором я, естественно, осведомлён лучше всего.

Когда я представил мою докторскую диссертацию на рассмотрение Эрмиту, он заметил, что было бы очень полезно найти приложения. В тот момент я не знал ни одного возможного приложения. Но в промежутке между днём, когда я подал рукопись, и днём, когда я защищал диссертацию, я узнал, что французский институт предложил в качестве конкурсной темы решить одну важную проблему (ту, о которой мы говорили на стр. 111 в связи с Риманом); и оказалось, что результаты моей диссертации дают решение этого вопроса. Я руководствовался лишь чувством интереса к проблеме, и оно меня вывело на правильный путь.

Несколькими годами позднее, снова занимаясь этими же вопросами, я получил один очень простой результат 122, который мне показался элегантным; я его сообщил моему другу, физику Дюгему; он меня спросил, каковы применения этого результата. Когда я ответил, что до сих пор не думал над этим, Дюгем, который был не только выдающимся физиком, но и замечательным художником, сравнил меня с живописцем, который начал рисовать пейзаж не выходя из мастерской, и который затем идёт на прогулку, чтобы открыть в природе пейзаж, соответствующий его картине. Это сравнение показалось мне верным, но в действительности я был прав, не заботясь о приложениях: они пришли позднее.

За несколько лет до этого (в 1893 г.) меня заинтересовал один алгебраический вопрос (об определителях). Решая его, я не подозревал, что он может быть как-то полезен, и удовлетворился лишь чувством, что он заслуживает интереса; а в 1900 г. появилась теория Фредгольма 123, для которой, как оказалось, результат полученный в 1893 г., был существенен.

Чрезвычайно удивительные, я бы даже сказал ошеломляющие, факты такого рода даёт нам поразительное развитие современной физики. В 1913 г. Эли Картан, один из первых французских математиков, стал размышлять в связи с теорией групп об одном замечательном классе аналитических и геометрических преобразований. Для специального рассмотрения этих преобразований в ту эпоху не было никакого основания, кроме их эстетических свойств. А через пятнадцать лет физики открыли опытным путём удивительные явления, связанные с электронами, и они смогли их понять лишь благодаря идеям Картана 1913 года.