Психология процесса изобретения в математике

103. Вопросы, которых мы здесь слегка коснулись, связаны больше с арифметизацией, чем с теми идеями Гильберта, о которых мы упоминали в главе IV.

104. Тут можно сделать то же заключение, что и по поводу «Основ геометрии» Гильберта. Я дал упрощённое доказательство первой части теоремы Жордана; моё доказательство может быть, естественно, вполне арифметизовано, иначе оно не считалось бы доказательством, но, разыскивая его, я всё время думал о фигуре (всегда представляя её себе в виде весьма извилистой кривой), и так повторяется всегда, когда я думаю об этом доказательстве. Я даже не могу утверждать, что я строго проверил это доказательство или для каждого его звена я проверял возможность его арифметизации (другими словами, арифметизованное доказательство не возникало в моём сознании). Однако ни для меня, ни для какого-либо другого математика, который будет читать доказательство, нет сомнения в том, что каждое его звено может быть арифметизовано; я могу мгновенно дать это доказательство в арифметизованном виде, и это доказывает, что в такой форме доказательство имеется в моём краевом сознании.

105. "Science et Mйthode", p. 104.

106. H. Poincarй, "Valeur de la Science", p. 11.

107. F. Klein, "The Evanston Colloquium", p. 46.

108. "Revue des Deux Mondes", январь — февраль, 1915, p. 657.

109. Из-за таких взглядов на вещи Клейн считал необходимым изменить доказательство одной знаменитой теоремы Эрмита; в одном месте он даже заявляет, что «доказательство не является ещё достаточно простым, в нём видны ещё следы идей Эрмита»; и это привело его к новому изменению. На самом же деле эти «упрощения» являются поверхностными и после них, как и раньше, всё — абсолютно всё существенное — базируется на основной идее Эрмита.

110. Сам Пуанкаре, несмотря на явление озарения, о котором мы говорили, никогда не производил на меня такого впечатления. Когда я читал одну из его крупных работ, у меня складывалось впечатление, что, как она ни замечательна, её уже давно должны были бы сделать (что, очевидно, является заблуждением); в то время как работы Эрмита, вроде той, о которой я говорил, вызывали у меня следующую мысль: «Какие замечательные результаты! Как он мог додуматься до такой вещи!».

Ясно, что такое суждение является в некоторой степени субъективным: вывод, который мне кажется логическим, т. е. соответствующий моему мышлению, и который для меня естественен, может показаться другому интуитивным. Почти все математики должны казаться самим себе логиками. Например, меня спросили, как я мог догадаться использовать для интегрирования уравнений в частных производных приём «главной части расходящегося интеграла»; конечно, если этот приём рассматривать сам по себе, то он может показаться типичным примером «мышления около». Но в действительности мой рассудок долгое время противился такой идее, до тех пор, пока я не был вынужден этого сделать; я пришёл к ней шаг за шагом и читатель-математик легко проверит это, если возьмёт на себя труд посмотреть мои исследования по этому вопросу, особенно мои «Исследования о фундаментальных решениях и по интегрированию линейных уравнений в частных производных», 2-й мемуар, в частности, начиная со стр. 121 (Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supйrieure, tome XXII, 1905). Я не мог избежать этого метода, как заключённый в поэме Эдгара По «Маятник и колодец» не мог избежать колодца в центре своей камеры.

111. Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрёк Пуанкаре (см. следующее замечание).

112. Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал её словесно, так как он излагал этот метод лишь в своих устных курсах и в течение многих лет метод оставался неизвестным для всех, кроме его учеников.

113. Вообще говоря, как замечают некоторые авторы (см. Meyerson, "Du cheminement de la Pensйe", tome 1, цитируется по Henri Delacrуix, "L'Invention et la Gйnie", p. 480), часто существует большая разница между открытием какой-нибудь идеи и её выражением в словах.

114. По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма. — Прим. ред.

115. К настоящему времени известно, что соотношение xm + ym = zm неразрешимо в целых числах для m ≤ 2521. — Прим. ред. [Это было в 1970 году. Через 25 лет появилась работа Эндрю Уайлса, а ещё через пару лет — книга Саймона Сингха. — E.G.A.]

116. Такого рода подход в течение двух последних веков использовался наиболее знаменитыми математиками, начиная с Абеля. Все важные результаты, которые можно получить в этом направлении, видимо, получены; эти результаты весьма ограниченны. Академия Наук ежегодно получает несколько работ на эту тему, большинство из которых являются абсурдными, а в некоторых воспроизводятся уже известные результаты, полученные Абелем и другими.